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Un ejemplo es resolver desigualdades que contienen un módulo de expresión. Calculadora en línea Resolver ecuaciones y desigualdades con módulos.

Hoy, amigos, no habrá mocos ni sentimentalismos. En cambio, te enviaré, sin hacer preguntas, a la batalla con uno de los oponentes más formidables en el curso de álgebra de octavo y noveno grado.

Sí, entendiste todo correctamente: estamos hablando de desigualdades con módulo. Analizaremos cuatro técnicas básicas con las que aprenderá a resolver aproximadamente el 90% de estos problemas. ¿Qué pasa con el 10% restante? Bueno, hablaremos de ellos en una lección aparte :)

Sin embargo, antes de analizar cualquiera de las técnicas, me gustaría recordarte dos datos que ya necesitas saber. De lo contrario, corre el riesgo de no comprender en absoluto el material de la lección de hoy.

Lo que ya necesitas saber

Captain Obviousness parece insinuar que para resolver desigualdades con módulo es necesario saber dos cosas:

Cómo se resuelven las desigualdades;
¿Qué es un módulo?

Empecemos por el segundo punto.

Definición del módulo

Aquí todo es sencillo. Hay dos definiciones: algebraica y gráfica. Para empezar - algebraico:

Definición. El módulo de un número $x$ es el número mismo, si no es negativo, o el número opuesto, si el $x$ original sigue siendo negativo.

Está escrito así:

\[\izquierda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Discurso en lenguaje sencillo, el módulo es "un número sin menos". Y es en esta dualidad (en algunos lugares no tienes que hacer nada con el número original, pero en otros tendrás que eliminar algún tipo de signo negativo) donde radica toda la dificultad para los estudiantes principiantes.

También hay una definición geométrica. También es útil saberlo, pero recurriremos a él sólo en casos complejos y algunos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).

Definición. Sea el punto $a$ marcado en la recta numérica. Entonces el módulo $\left| x-a \right|$ es la distancia desde el punto $x$ al punto $a$ en esta línea.

Si haces un dibujo, obtendrás algo como esto:

Definición del módulo gráfico.

De una forma u otra, de la definición de un módulo se desprende inmediatamente su propiedad clave: el módulo de un número es siempre una cantidad no negativa. Este hecho será un hilo rojo que atravesará toda nuestra narrativa de hoy.

Resolver desigualdades. método de intervalo

Ahora veamos las desigualdades. Hay muchísimos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Los que bajan a desigualdades lineales, así como al método del intervalo.

tengo dos sobre este tema gran lección(por cierto, muy, MUY útil; recomiendo estudiar):

Método de intervalos para desigualdades (especialmente mire el video);
Las desigualdades racionales fraccionarias es una lección muy extensa, pero después no tendrás ninguna pregunta.

Si sabes todo esto, si la frase “pasemos de la desigualdad a la ecuación” no te provoca un vago deseo de darte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección :)

1. Desigualdades de la forma “El módulo es menor que la función”

Este es uno de los problemas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:

\[\izquierda| Miedo| \ltg\]

Las funciones $f$ y $g$ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:

Todos ellos se pueden resolver literalmente en una línea según el siguiente esquema:

\[\izquierda| Miedo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \derecha.\derecha)\]

Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero a cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todo. posibles problemas: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $f$ o $g$, el método seguirá funcionando.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más sencillo? Lamentablemente, no es posible. Este es el objetivo del módulo.

Pero basta ya de filosofar. Resolvamos un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha| \ltx+7\]

Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma "el módulo es menor": ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:

\[\begin(alinear) & \left| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \izquierda| 2x+3 \derecha| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

No te apresures a abrir los paréntesis precedidos por un "menos": es muy posible que debido a tu prisa cometas un error ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Observemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:
Intersección de conjuntos
La intersección de estos conjuntos será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solución. Esta tarea es un poco más difícil. Primero, aislamos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Obviamente, nuevamente tenemos una desigualdad de la forma “el módulo es más pequeño”, por lo que nos deshacemos del módulo usando el algoritmo ya conocido:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero permítanme recordarles una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve correctamente la desigualdad y obtén la respuesta. Posteriormente, cuando hayas dominado perfectamente todo lo descrito en esta lección, podrás pervertirte como quieras: abrir corchetes, añadir menos, etc.

Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos de la izquierda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\izquierda(x+1 \derecha)\]

Ahora abramos todos los corchetes en la doble desigualdad:

Pasemos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinear)\derecha.\]

Ambas desigualdades son cuadráticas y se pueden resolver usando el método del intervalo (por eso digo: si no sabes qué es esto, mejor no tomar módulos todavía). Pasemos a la ecuación de la primera desigualdad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(alinear)\]

Como puede ver, la salida estaba incompleta. ecuación cuadrática, que se puede resolver de forma elemental. Ahora veamos la segunda desigualdad del sistema. Allí tendrás que aplicar el teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(alinear)\]

Marcamos los números resultantes en dos líneas paralelas (separadas para la primera desigualdad y separadas para la segunda):
Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ésta es la respuesta.
Respuesta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Creo que después de estos ejemplos el esquema de solución es sumamente claro:

Aísle el módulo moviendo todos los demás términos al lado opuesto de la desigualdad. Así obtenemos una desigualdad de la forma $\left| miedo\derecho| \ltg$.
Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo según el esquema descrito anteriormente. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada una de las cuales ya puede resolverse por separado.
Finalmente, todo lo que queda es intersecar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.

Existe un algoritmo similar para desigualdades del siguiente tipo, cuando el módulo es mayor que la función. Sin embargo, hay un par de “peros” serios. Hablaremos ahora de estos “peros”.

2. Desigualdades de la forma “El módulo es mayor que la función”

Se ven así:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gtg\]

¿Parecido al anterior? Parece. Y, sin embargo, estos problemas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

En otras palabras, consideramos dos casos:

Primero, simplemente ignoramos el módulo y resolvemos la desigualdad habitual;
Luego, en esencia, expandimos el módulo con el signo menos y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, mientras tengo el signo.

En este caso, las opciones se combinan con un corchete, es decir Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.

Tenga en cuenta nuevamente: esto no es un sistema, sino una totalidad, por lo tanto en la respuesta los conjuntos se combinan en lugar de cruzarse. ¡Esta es una diferencia fundamental con respecto al punto anterior!

En general, muchos estudiantes están completamente confundidos con las uniones y las intersecciones, así que solucionemos este problema de una vez por todas:

"∪" es un signo sindical. De hecho, esta es una letra estilizada "U" que nos llegó desde idioma en Inglés y es una abreviatura de “Unión”, es decir "Asociaciones".
"∩" es la señal de intersección. Esta basura no surgió de ninguna parte, sino que simplemente apareció como un contrapunto a “∪”.

Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente dibuje piernas en estos carteles para hacer anteojos (pero no me acuse ahora de promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un drogadicto):

Diferencia entre intersección y unión de conjuntos.

Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: la unión (totalidad) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, de ninguna manera es menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente tanto en el primer conjunto como en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.

¿Entonces quedó más claro? Genial. Pasemos a la práctica.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\]

Solución. Procedemos según el esquema:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ bien.\]

Resolvemos cada desigualdad de la población:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:
unión de conjuntos
Es bastante obvio que la respuesta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Respuesta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gtx\]

Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces allí no serán muy buenas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(alinear)\]

La segunda desigualdad también es un poco descabellada:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(alinear)\]

Ahora necesitas marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, es necesario marcar los puntos en el orden correcto: que numero mayor, cuanto más desplazamos el punto hacia la derecha.

Y aquí nos espera una configuración. Si todo está claro con los números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (los términos en el numerador del primer fracción son menores que los términos en el numerador de la segunda, por lo que la suma también es menor), con los números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tampoco habrá dificultades (un número positivo obviamente es más negativo), luego con el último par no todo está tan claro. ¿Cuál es mayor: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La ubicación de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerán de la respuesta a esta pregunta.

Entonces comparemos:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos en ambos lados de la desigualdad, por lo que tenemos derecho a elevar ambos lados al cuadrado:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Creo que es una obviedad que $4\sqrt(13) \gt 3$, entonces $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, los puntos finales de los ejes se colocarán así:
Un caso de raíces feas
Déjame recordarte que estamos resolviendo un conjunto, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de conjuntos sombreados.

Respuesta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien para ambos. tareas simples, y para los muy duros. El único "punto débil" de este enfoque es que es necesario comparar correctamente números irracionales(y créanme: no son sólo las raíces). Pero se dedicará una lección aparte (y muy seria) a las cuestiones de comparación. Y seguimos adelante.

3. Desigualdades con “colas” no negativas

Ahora llegamos a la parte más interesante. Estas son desigualdades de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt\izquierda| g\derecho|\]

En términos generales, el algoritmo del que hablaremos ahora es correcto sólo para el módulo. Funciona en todas las desigualdades donde se garantizan expresiones no negativas a la izquierda y a la derecha:

¿Qué hacer con estas tareas? Solo recuerda:

En desigualdades con “colas” no negativas, ambos lados pueden elevarse a cualquier potencia natural. No habrá restricciones adicionales.

En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(alinear)\]

Pero no confundas esto con sacar la raíz de un cuadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\izquierda| f \right|\ne f\]

¡Se cometieron innumerables errores cuando un estudiante olvidó instalar un módulo! Pero esta es una historia completamente diferente (son, por así decirlo, ecuaciones irracionales), por lo que no entraremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \derecha|\]

Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:

Esta no es una desigualdad estricta. Se perforarán los puntos de la recta numérica.

Ambos lados de la desigualdad son obviamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema usando el método de intervalo habitual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(alinear)\]

En el último paso hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos, aprovechando la uniformidad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ derecha)\derecha)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando el método del intervalo. Pasemos de la desigualdad a la ecuación:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están sombreados porque la desigualdad original no es estricta!
Deshacerse del signo del módulo
Permítanme recordarles a aquellos que son especialmente testarudos: tomamos los signos de la última desigualdad, que fue escrita antes de pasar a la ecuación. Y pintamos sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Bueno, eso es todo. El problema está resuelto.

Respuesta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \derecha|\]

Solución. Hacemos todo igual. No haré comentarios, solo mira la secuencia de acciones.

Cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \derecha| \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ derecha))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flecha derecha x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Sólo hay una raíz en la recta numérica:
La respuesta es un intervalo completo.
Respuesta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una pequeña nota sobre la última tarea. Como señaló con precisión uno de mis alumnos, ambas expresiones submodulares en esta desigualdad son obviamente positivas, por lo que el signo del módulo se puede omitir sin dañar la salud.

Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente: convencionalmente se le puede llamar el método de las consecuencias. Sobre esto, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y veamos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes :)

4. Método de enumeración de opciones.

¿Qué pasa si todas estas técnicas no ayudan? ¿Si la desigualdad no se puede reducir a colas no negativas, si es imposible aislar el módulo, si en general hay dolor, tristeza, melancolía?

Entonces entra en escena la “artillería pesada” de todas las matemáticas: el método de la fuerza bruta. En relación con las desigualdades con módulo, se ve así:

Escriba todas las expresiones submodulares e igualelas a cero;
Resuelve las ecuaciones resultantes y marca las raíces encontradas en una recta numérica;
La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y por tanto se revela de forma única;
Resuelva la desigualdad en cada una de estas secciones (puede considerar por separado los límites de las raíces obtenidos en el paso 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados: esta será la respuesta :)

Entonces ¿cómo? ¿Débil? ¡Fácilmente! Sólo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \derecha| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $\left| Miedo| \lt g$, $\izquierda| Miedo| \gt g$ o $\left| Miedo| \lt \left| g \right|$, entonces actuamos con anticipación.

Escribimos expresiones submodulares, las igualamos a cero y encontramos las raíces:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flecha derecha x=1. \\\end(alinear)\]

En total, tenemos dos raíces que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela de forma única:
Partición de la recta numérica por ceros de funciones submodulares
Veamos cada sección por separado.

1. Sea $x \lt -2$. Entonces ambas expresiones submodulares son negativas y la desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, la variable $x$ no puede ser simultáneamente menor que −2 y mayor que 1,5. No hay soluciones en este ámbito.

1.1. Consideremos por separado el caso límite: $x=-2$. Simplemente sustituyamos este número en la desigualdad original y comprobemos: ¿es cierto?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\derecha|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Es obvio que la cadena de cálculos nos ha llevado a una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, la desigualdad original también es falsa y $x=-2$ no está incluido en la respuesta.

2. Sea ahora $-2 \lt x \lt 1$. El módulo izquierdo ya se abrirá con un "más", pero el derecho todavía se abrirá con un "menos". Tenemos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(alinear)\]

Nuevamente nos cruzamos con el requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Y nuevamente el conjunto de soluciones está vacío, ya que no hay números que sean menores que −2,5 y mayores que −2.

2.1. Y otra vez caso especial: $x=1$. Sustituimos en la desigualdad original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ &\izquierda| 3\derecha| \lt \left| 0 \derecha|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Al igual que en el “caso especial” anterior, el número $x=1$ claramente no está incluido en la respuesta.

3. La última parte de la línea: $x \gt 1$. Aquí todos los módulos se abren con un signo más:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Y nuevamente cruzamos el conjunto encontrado con la restricción original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Bueno, ¡por fin! Hemos encontrado un intervalo que será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, una nota que puede salvarte de errores estúpidos al resolver problemas reales:

Las soluciones a desigualdades con módulos suelen representar conjuntos continuos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Los puntos aislados son mucho menos comunes. Y con menos frecuencia sucede que el límite de la solución (el final del segmento) coincide con el límite del rango considerado.

En consecuencia, si los límites (los mismos “casos especiales”) no se incluyen en la respuesta, entonces es casi seguro que las áreas a la izquierda y a la derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y viceversa: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán respuestas.

Tenga esto en cuenta al revisar sus soluciones.

Los métodos (reglas) para revelar desigualdades con módulos consisten en la revelación secuencial de módulos, utilizando intervalos de signo constante de funciones submodulares. En la versión final se obtienen varias desigualdades de las cuales se encuentran intervalos o intervalos que satisfacen las condiciones del problema.

Pasemos a resolver ejemplos comunes en la práctica.

Desigualdades lineales con módulos.

Por lineal nos referimos a ecuaciones en las que una variable entra linealmente en la ecuación.

Ejemplo 1. Encuentra una solución a la desigualdad.

Solución:
De las condiciones del problema se deduce que los módulos se vuelven cero en x=-1 y x=-2.

Estos puntos dividen la recta numérica en intervalos. En cada uno de estos intervalos resolvemos la desigualdad dada. Para ello, en primer lugar, componemos dibujos graficos

áreas de signo constante de funciones submodulares. Se representan como áreas con signos de cada una de las funciones.

o intervalos con signos de todas las funciones.

En el primer intervalo ampliamos los módulos.

Multiplicamos ambos lados por menos uno y el signo de la desigualdad cambiará al opuesto. Si te cuesta acostumbrarte a esta regla, puedes mover cada una de las partes detrás del letrero para deshacerte del signo menos. Al final recibirás

La intersección del conjunto x>-3 con el área sobre la cual se resolvieron las ecuaciones será el intervalo (-3;-2). Para aquellos a quienes les resulte más fácil encontrar soluciones, pueden dibujar gráficamente la intersección de estas áreas.

La intersección común de áreas será la solución. Si es estrictamente desigual, los bordes no están incluidos. Si no es estricto, verifique por sustitución.

En el segundo intervalo obtenemos

La sección transversal será el intervalo (-2;-5/3).

esta condición no da soluciones en el dominio deseado.

Dado que las dos soluciones encontradas (-3;-2) y (-2;-5/3) lindan con el punto x=-2, lo comprobamos también.

Por tanto, el punto x=-2 es una solución. solución general teniendo esto en cuenta se verá así (-3;5/3).

Ejemplo 2. Encuentra una solución a la desigualdad.
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Solución:
Los ceros de las funciones submodulares serán los puntos x=2, x=3, x=4.

Para valores de argumento menores que estos puntos, las funciones submodulares son negativas y para valores mayores, son positivas.

Los puntos dividen el eje real en cuatro intervalos. Ampliamos los módulos según los intervalos de signo constante y resolvemos las desigualdades.

1) En el primer intervalo, todas las funciones submodulares son negativas, por lo que al expandir los módulos cambiamos el signo al opuesto.

La intersección de los valores x encontrados con el intervalo considerado será un conjunto de puntos

2) En el intervalo entre los puntos x=2 y x=3, la primera función submodular es positiva, la segunda y la tercera son negativas. Ampliando los módulos, obtenemos

una desigualdad que, cuando se cruza con el intervalo que estamos resolviendo, da una solución: x=3.

3) En el intervalo entre los puntos x=3 y x=4, la primera y segunda funciones submodulares son positivas y la tercera es negativa. En base a esto obtenemos

Esta condición muestra que todo el intervalo satisfará la desigualdad con módulos.

4) Para valores de x>4 todas las funciones tienen signos positivos. Al ampliar módulos, no cambiamos su signo.

La condición encontrada en la intersección con el intervalo da el siguiente conjunto de soluciones

Dado que la desigualdad se resuelve en todos los intervalos, queda por encontrar el valor común de todos los valores encontrados de x.

La solución serán dos intervalos.
Esto concluye el ejemplo.

Solución:
Ejemplo 3. Encuentra una solución a la desigualdad.

||x-1|-5|>3-2x

Tenemos una desigualdad con módulo de módulo. Estas desigualdades se revelan a medida que se anidan los módulos, empezando por los que se encuentran más profundos.

La función submodular x-1 se convierte a cero en x=1. Para valores más pequeños mayores que 1 es negativo y positivo para x>1. En base a esto, ampliamos el módulo interno y consideramos la desigualdad en cada uno de los intervalos.<-4:

Primero, considere el intervalo desde menos infinito hasta uno

La función submodular es cero en x=-4. En valores más pequeños es positivo, en valores más grandes es negativo. Ampliemos el módulo para x.

En la intersección con el área que estamos considerando, obtenemos un conjunto de soluciones.

RECUERDE: si en tales irregularidades con módulos se obtienen dos intervalos que bordean un punto común, entonces, por regla general, esta también es una solución.

Para hacer esto, solo necesitas verificar.

En este caso, sustituimos el punto x=-4.

Entonces x=-4 es la solución.
Ampliemos el módulo interno para x>1

Función submodular negativa para x<6.
Ampliando el módulo obtenemos

Esta condición en la sección con el intervalo (1;6) da un conjunto vacío de soluciones.

Para x>6 obtenemos la desigualdad

Resolviendo también obtuvimos un conjunto vacío.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, la única solución las desigualdades con módulos serán el siguiente intervalo.

Desigualdades con módulos que contienen ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 4. Encuentra una solución a la desigualdad.
|x^2+3x|>=2-x^2

Solución:
La función submodular desaparece en los puntos x=0, x=-3.

Sustitución simple de menos uno
establecemos que es menor que cero en el intervalo (-3;0) y positivo más allá de él.

Ampliemos el módulo en áreas donde la función submodular es positiva

Queda por determinar las regiones donde la función cuadrada es positiva. Para hacer esto, determinamos las raíces de la ecuación cuadrática.

Por conveniencia, sustituimos el punto x=0, que pertenece al intervalo (-2;1/2).

La función es negativa en este intervalo, lo que significa que la solución serán los siguientes conjuntos x

Aquí los bordes de las áreas con soluciones se indican entre paréntesis; esto se hizo deliberadamente, teniendo en cuenta la siguiente regla;

RECUERDE: Si una desigualdad con módulos, o una desigualdad simple es estricta, entonces las aristas de las áreas encontradas no son soluciones, pero si las desigualdades no son estrictas (), entonces las aristas son soluciones (indicadas por corchetes).

Muchos profesores utilizan esta regla: si se da una desigualdad estricta y durante los cálculos escribe un corchete ([,]) en la solución, automáticamente considerarán que esta es una respuesta incorrecta. Además, al realizar la prueba, si se da una desigualdad no estricta con módulos, busque áreas entre corchetes entre las soluciones.

En el intervalo (-3;0), ampliando el módulo, cambiamos el signo de la función al opuesto

Teniendo en cuenta el área de divulgación de la desigualdad, la solución tendrá la forma
Junto con el área anterior esto dará dos medios intervalos.

Solución:
Ejemplo 5. Encuentra una solución a la desigualdad.<3.

9x^2-|x-3|>=9x-2

Se da una desigualdad no estricta cuya función submodular es igual a cero en el punto x=3.

Sustituyendo el punto cero, encontramos que en el intervalo [-1/9;1] la función cuadrática es negativa, por lo tanto el intervalo es una solución. A continuación ampliamos el módulo en x>3

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Ingrese una ecuación o desigualdad con módulos
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Resolver una ecuación o desigualdad

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Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:
si $a \geq 0 $, entonces $|a|=a $;
si \(a Como regla general, una ecuación (desigualdad) con módulos se reduce a un conjunto de ecuaciones (desigualdades) que no contienen el signo del módulo.

Además de la definición anterior, se utilizan las siguientes declaraciones:
1) Si $c > 0$, entonces la ecuación $|f(x)|=c $ es equivalente al conjunto de ecuaciones: $\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 $, entonces la desigualdad $|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 $, entonces la desigualdad $|f(x)| > c $ es equivalente a un conjunto de desigualdades: $\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. $
4) Si ambos lados de la desigualdad $f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0$.

Si $x-1 \geq 0$, entonces $|x-1| = x-1$ y la ecuación dada toma la forma
$x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 $.
Si $x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 $.
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea $x-1 \geq 0 $, es decir $x\geq 1$. De la ecuación $x^2 +2x -8 = 0$ encontramos $x_1=2, \; x_2=-4$.
La condición $x \geq 1 $ se cumple únicamente con el valor $x_1=2$.

2) Sea $x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) $

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)$. primera manera
(expansión del módulo por definición).

Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: $x^2-6x+7 \geq 0 $ o $x^2-6x+7
1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 $, entonces $|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 $ y la ecuación dada toma la forma $x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 $. Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: $x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) $. Averigüemos si el valor $x_1=6$ satisface la condición $x^2-6x+7 \geq 0$. Para hacer esto, sustituya el valor especificado en desigualdad cuadrática
. Obtenemos: $6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 $, es decir $7 \geq 0 $ es una desigualdad verdadera.

2) Si $x^2-6x+7 Valor \(x_3=3$ satisface la condición $x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) $ no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: $x=6, \; x=3 $.

Segunda vía. Si la ecuación se da $|f(x)| = h(x) $, entonces con $h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right $
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: $6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)$. La condición $\frac(5x-9)(3) \geq 0 $ de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: $x=6 ,\;x=3$.

Tercera vía(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función $y = |x^2-6x+7| $. Primero, construyamos una parábola $y = x^2-6x+7$.
Tenemos $x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 $. La gráfica de la función $y = (x-3)^2-2$ se puede obtener a partir de la gráfica de la función $y = x^2$ desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (a lo largo del eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y).
La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. . Para construir ahora una gráfica de la función $y = |x^2-6x+7| $, debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x. 2) Construyamos un gráfico

función lineal

$y = \frac(5x-9)(3)$. Es conveniente tomar los puntos (0; –3) y (3; 2) como puntos de control. Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto $x=3-\ sqrt(2) $ (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7). Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que en ambos casos, en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y. x = 6. Respuesta: 3;

Comentario

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)$.
. El método gráfico, a pesar de su elegancia, no es muy fiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.

Considere el primer intervalo: $(-\infty; \; -3) $.
Si x Considere el segundo intervalo: $[-3; \; 2) $.
Si \(-3 \leq x Considere el tercer intervalo: \()