Desigualdades racionales - Hipermercado del conocimiento. ¿Cómo resolver desigualdades? Cómo resolver desigualdades fraccionarias y cuadráticas

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En resolver desigualdades lineales Sólo hay un gran truco: debes cambiar el signo de la desigualdad al dividir (o multiplicar) la desigualdad por un número negativo. Cambiar el signo de desigualdad significa cambiar el signo “menor que” por el signo “mayor que” o viceversa. En este caso, no es necesario cambiar los signos más y menos en ninguna parte, sin pasar por las reglas matemáticas aprendidas previamente. Si dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, no es necesario cambiar el signo de la desigualdad. De lo contrario, resolver desigualdades lineales es completamente idéntico a resolver ecuaciones lineales.

En desigualdades lineales y cualquier otra desigualdad racional, en ningún caso se deben multiplicar o dividir los lados izquierdo o derecho de la desigualdad en expresiones que contengan una variable (excepto en los casos en que la expresión dada sea positiva o negativa en todo el eje numérico, en cuyo caso , al dividir por una expresión siempre negativa se debe cambiar el signo de desigualdad, y al dividir por una expresión siempre positiva se debe conservar el signo de desigualdad).

Resolver desigualdades de la forma:

Realizado utilizando método de intervalo, que es el siguiente:

1. Dibujamos una línea de coordenadas en la que trazamos todos los números. un yo. Estos números, ordenados en orden ascendente, dividirán la línea de coordenadas en ( norte+1) intervalos de signo constante de la función F(incógnita).
2. Así, habiendo determinado el signo F(incógnita) en cualquier punto de cada intervalo (normalmente este punto se elige por conveniencia de las operaciones aritméticas), determinamos el signo de la función en cada intervalo. Lo principal es no sustituir los límites de los intervalos en la función.
3. Anotamos en respuesta todos aquellos intervalos cuyo signo de la función corresponde a la condición principal de la desigualdad.

También cabe señalar que no es necesario examinar el signo de la función en cada intervalo sustituyendo algún valor de este intervalo. Es suficiente determinar de esta manera el signo de la función solo en un intervalo (generalmente en el extremo derecho), y luego, moviéndose desde este intervalo hacia la izquierda a lo largo del eje numérico, puede alternar los signos de los intervalos según el principio:

• Si el paréntesis del que se toma el número por el que pasamos está en extraño esta cambiando.
• Y si el corchete correspondiente está en incluso grados, luego al pasar por el punto correspondiente el signo de desigualdad no cambia.

En este caso también se deberán tener en cuenta las siguientes notas:

• En desigualdades estrictas (signos menores o mayores que), los límites de los intervalos nunca se incluyen en la respuesta y en el eje numérico se representan como puntos perforados.
• En desigualdades no estrictas (signos “menor o igual que” o “mayor o igual que”) aquellos límites de los intervalos que se toman del numerador siempre responde y se representan mediante puntos sombreados (ya que en estos puntos la función realmente desaparece, lo que satisface la condición).
• Pero los límites tomados del denominador en desigualdades no estrictas siempre se representan mediante puntos perforados y en la respuesta nunca está incluida(ya que en estos puntos el denominador llega a cero, lo cual es inaceptable).
• En todas las desigualdades, si el mismo grupo está tanto en el numerador como en el denominador, entonces no se puede reducir por este grupo. Debe representar el punto correspondiente tal como está perforado en el eje y no olvide excluirlo de la respuesta. En este caso, al alternar los signos de los intervalos, pasando por este punto no es necesario cambiar de signo.

Así que una vez más lo más importante: Al escribir la respuesta final en desigualdades, no pierda los puntos individuales que satisfacen la desigualdad (estas son las raíces del numerador en desigualdades no estrictas) y no olvide excluir de la respuesta todas las raíces del denominador en todas las desigualdades. .

Al resolver desigualdades racionales, más tipo complejo de lo indicado anteriormente, primero debe reducirlos exactamente a esta forma mediante transformaciones algebraicas y luego aplicar el método de intervalos, teniendo en cuenta todas las sutilezas ya descritas. Así, podemos sugerir el siguiente algoritmo para resolver desigualdades racionales:

1. Todos los términos, fracciones y otras expresiones deben trasladarse al lado izquierdo de la desigualdad.
2. Si es necesario, reduce las fracciones a un denominador común.
3. Factoriza el numerador y el denominador de la fracción resultante en factores.
4. Resuelve la desigualdad resultante usando el método del intervalo.

Al mismo tiempo No se permite resolver desigualdades racionales.:

1. Multiplica fracciones en forma transversal.
2. Como en las ecuaciones, no se puede factorizar una variable en ninguno de los lados de una desigualdad. Si existen tales factores, luego de transferir todas las expresiones al lado izquierdo de la desigualdad, deben sacarse de los corchetes y luego tener en cuenta los puntos que darán después de la descomposición final de la expresión resultante en factores.
3. Considere el numerador y el denominador de la fracción por separado.

Como en otros temas de matemáticas, al resolver desigualdades racionales puedes utilizar método de reemplazo de variables. Lo principal es no olvidar que después de introducir el reemplazo, la nueva expresión debería volverse más simple y no contener la variable anterior. Además, no debes olvidarte de realizar una sustitución inversa.

Al decidir sistemas de desigualdades racionales necesitas resolver todas las desigualdades del sistema una por una. El sistema requiere el cumplimiento de dos o más condiciones, y buscamos aquellos valores de la cantidad desconocida que satisfagan todas las condiciones a la vez. Por lo tanto, en la respuesta a un sistema de desigualdades es necesario indicar las partes comunes de todas las soluciones a desigualdades individuales (o las partes comunes de todos los intervalos sombreados que representan las respuestas a cada desigualdad individual).

Al decidir conjuntos de desigualdades racionales Resuelva también cada una de las desigualdades por turno. Una colección requiere encontrar todos los valores de una variable que cumplan al menos una de las condiciones. Es decir, cualquiera de las condiciones, varias condiciones o todas las condiciones juntas. En la respuesta de un conjunto de desigualdades, se indican todas las partes de todas las soluciones de desigualdades individuales (o todas las partes de todos los intervalos sombreados que representan las respuestas de cada desigualdad individual).

Resolver algunos tipos de desigualdades con módulos.

Las desigualdades con módulos pueden y deben resolverse revelando secuencialmente los módulos a intervalos de su signo constante. Por lo tanto, debes hacer aproximadamente lo mismo que cuando resuelves ecuaciones con módulos (más sobre esto a continuación). Pero hay varios casos relativamente simples en los que resolver una desigualdad con un módulo se reduce a un algoritmo más simple. Por ejemplo, resolviendo una desigualdad de la forma:

Todo se reduce a una solución sistemas:

En particular, la desigualdad:

sistema:

Bueno, si en una desigualdad similar reemplazamos el signo de “menos” por “más”:

Entonces su decisión se reduce a una decisión. totalidad:

En particular, la desigualdad:

Puede ser reemplazado por un equivalente. totalidad:

Así, es necesario recordar que para la desigualdad de “módulo es menor” obtenemos un sistema donde ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente, y para la desigualdad de “módulo es mayor” obtenemos un conjunto en el que cualquiera de las condiciones debe cumplirse .

Al resolver desigualdades racionales con un módulo de la forma:

Es recomendable pasar a la siguiente desigualdad racional equivalente sin módulo:

Tal desigualdad no se puede resolver extrayendo la raíz (si honestamente extraes la raíz, entonces necesitas instalar los módulos nuevamente y volverás al principio; si te olvidas de los módulos, esto equivale simplemente a olvidarte de ellos). al principio, y esto, por supuesto, es un error). Se deben mover todos los corchetes hacia la izquierda y, sin abrir los corchetes en ningún caso, aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados.

Repitamos una vez más que para soluciones a todos los demás tipos de desigualdades con módulos Además de los indicados anteriormente, es necesario identificar todos los módulos incluidos en la desigualdad en intervalos de su signo constante y resolver las desigualdades resultantes. Te lo recordamos con más detalle significado general este algoritmo:

• Primero, encontramos los puntos en el eje numérico en los que cada una de las expresiones del módulo desaparece.
• A continuación, dividimos todo el eje numérico en intervalos entre los puntos resultantes y examinamos el signo de cada una de las expresiones submodulares en cada intervalo. Tenga en cuenta que para determinar el signo de una expresión, debe sustituir cualquier valor de una variable del intervalo, excepto los puntos límite. Elija valores de variables que sean fáciles de sustituir.
• A continuación, en cada intervalo resultante, revelamos todos los módulos en la desigualdad original de acuerdo con sus signos en este intervalo y resolvemos la desigualdad racional ordinaria resultante, teniendo en cuenta todas las reglas y sutilezas de resolver desigualdades ordinarias sin módulos.
• La solución de cada una de las desigualdades obtenidas en un intervalo específico se combina en un sistema con el intervalo mismo, y todos esos sistemas se combinan en un conjunto. Por lo tanto, de las soluciones a todas las desigualdades, seleccionamos solo aquellas partes que se incluyeron en el intervalo en el que se obtuvo esta desigualdad y escribimos todas estas partes en la respuesta final.

Seguimos profundizando en el tema de “resolver desigualdades con una variable”. Ya estamos familiarizados con las desigualdades lineales y las desigualdades cuadráticas. son casos especiales desigualdades racionales, que ahora estudiaremos. Empecemos por descubrir qué tipo de desigualdades se llaman racionales. A continuación veremos su división en desigualdades racionales enteras y racionales fraccionarias. Y después estudiaremos cómo resolver desigualdades racionales con una variable, escribiremos los algoritmos correspondientes y consideraremos soluciones a ejemplos típicos con explicaciones detalladas.

Navegación de páginas.

¿Qué son las desigualdades racionales?

En las clases de álgebra en la escuela, tan pronto como comienza la conversación sobre la resolución de desigualdades, inmediatamente nos encontramos con desigualdades racionales. Sin embargo, al principio no se les llama por su nombre, ya que en esta etapa los tipos de desigualdades son de poco interés y el objetivo principal es adquirir habilidades iniciales para trabajar con desigualdades. El término “desigualdad racional” se introduce más adelante en el noveno grado, cuando comienza un estudio detallado de las desigualdades de este tipo particular.

Averigüemos qué son las desigualdades racionales. Aquí está la definición:

La definición indicada no dice nada sobre el número de variables, lo que significa que se permite cualquier número de ellas. Dependiendo de esto se distinguen desigualdades racionales con uno, dos, etc. variables. Por cierto, el libro de texto da una definición similar, pero para desigualdades racionales con una variable. Esto es comprensible, ya que la escuela se enfoca en resolver desigualdades con una variable (a continuación también hablaremos solo sobre resolver desigualdades racionales con una variable). Desigualdades con dos variables. se consideran pequeñas, y las desigualdades con tres y un gran número Casi no se presta atención a las variables.

Entonces, una desigualdad racional puede reconocerse por su notación; para hacer esto, basta con mirar las expresiones en sus lados izquierdo y derecho y asegurarse de que sean expresiones racionales. Estas consideraciones nos permiten dar ejemplos de desigualdades racionales. Por ejemplo, x>4, x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), son desigualdades racionales. Y la desigualdad no es racional, ya que su lado izquierdo contiene una variable bajo el signo de la raíz y, por tanto, no es una expresión racional. La desigualdad tampoco es racional, ya que ambas partes no son expresiones racionales.

Para facilitar una descripción más detallada, introducimos la división de desigualdades racionales en enteras y fraccionarias.

Definición.

A la desigualdad racional la llamaremos entero, si ambas partes son expresiones racionales enteras.

Definición.

Desigualdad racional fraccionada es una desigualdad racional, al menos una parte de la cual es una expresión fraccionaria.

Entonces 0.5 x≤3 (2−5 y), son desigualdades enteras, y 1:x+3>0 y - fraccionariamente racional.

Ahora tenemos una comprensión clara de qué son las desigualdades racionales y podemos comenzar con seguridad a comprender los principios para resolver desigualdades racionales enteras y fraccionarias con una variable.

Resolver desigualdades enteras

Pongámonos una tarea: digamos que necesitamos resolver una desigualdad racional completa con una variable x de la forma r(x) , ≥), donde r(x) y s(x) son algunas expresiones racionales enteras. Para resolverlo usaremos transformaciones de desigualdad equivalentes.

Muevamos la expresión del lado derecho al izquierdo, lo que nos llevará a una desigualdad equivalente de la forma r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) con un cero a la derecha. Obviamente, la expresión r(x)−s(x) formada en el lado izquierdo también es un número entero, y se sabe que cualquiera. Habiendo transformado la expresión r(x)−s(x) en el polinomio idénticamente igual h(x) (aquí observamos que las expresiones r(x)−s(x) y h(x) tienen la misma variable x ), pasamos a la desigualdad equivalente h(x)<0 (≤, >, ≥).

En los casos más sencillos, las transformaciones realizadas serán suficientes para obtener la solución deseada, ya que nos llevarán de la desigualdad racional entera original a una desigualdad que sabemos resolver, por ejemplo, a una lineal o cuadrática. Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra la solución a toda la desigualdad racional x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

Solución.

Primero movemos la expresión del lado derecho al izquierdo: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Habiendo completado todo lo del lado izquierdo, llegamos a desigualdad lineal 3 x−2≤0 , que es equivalente a la desigualdad entera original. La solución no es difícil:
3x≤2,
x≤2/3.

Respuesta:

x≤2/3.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

Solución.

Comenzamos como de costumbre transfiriendo la expresión del lado derecho y luego realizamos transformaciones en el lado izquierdo usando:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Así, al realizar transformaciones equivalentes, llegamos a la desigualdad 1>0, que es cierta para cualquier valor de la variable x. Esto significa que la solución a la desigualdad entera original es cualquier número real.

Respuesta:

x - cualquiera.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Solución.

Hay un cero en el lado derecho, por lo que no es necesario mover nada de él. Transformemos toda la expresión del lado izquierdo en un polinomio:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Obtuvimos una desigualdad cuadrática, que es equivalente a la desigualdad original. Lo solucionamos utilizando cualquier método que conozcamos. Resolvamos gráficamente la desigualdad cuadrática.

Encuentra las raíces del trinomio cuadrático −2 x 2 +11 x+6:

Hacemos un dibujo esquemático en el que marcamos los ceros encontrados y tenemos en cuenta que las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo, ya que el coeficiente principal es negativo:

Como estamos resolviendo una desigualdad con signo >, nos interesan los intervalos en los que la parábola se ubica sobre el eje x. Esto ocurre en el intervalo (−0,5, 6), que es la solución deseada.

Respuesta:

(−0,5, 6) .

en más casos difíciles en el lado izquierdo de la desigualdad resultante h(x)<0 (≤, >, ≥) será un polinomio de tercer grado o superior. Para resolver tales desigualdades, es adecuado el método del intervalo, en cuyo primer paso será necesario encontrar todas las raíces del polinomio h(x), lo que a menudo se hace mediante .

Ejemplo.

Encuentra la solución a la desigualdad racional total (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Solución.

Movamos todo hacia el lado izquierdo, después de lo cual está:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Las manipulaciones realizadas nos llevan a una desigualdad equivalente a la original. En su lado izquierdo hay un polinomio de tercer grado. Se puede resolver utilizando el método del intervalo. Para hacer esto, primero que nada, necesitas encontrar las raíces del polinomio que descansa sobre x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Averigüemos si tiene raíces racionales, que sólo pueden estar entre los divisores del término libre, es decir, entre los números ±1, ±2, ±3, ±6. Sustituyendo estos números a su vez en lugar de la variable x en la ecuación x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, encontramos que las raíces de la ecuación son los números 1, 2 y 3. Esto nos permite representar el polinomio x 3 +4 x 2 +11 x−6 como un producto (x−1) (x−2) (x−3) , y la desigualdad x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

Y luego solo queda realizar los pasos estándar del método del intervalo: marcar en la recta numérica los puntos con coordenadas 1, 2 y 3, que dividen esta recta en cuatro intervalos, determinar y colocar los signos, dibujar sombreado sobre el intervalos con signo menos (ya que estamos resolviendo una desigualdad con signo menos<) и записать ответ.

De donde tenemos (−∞, 1)∪(2, 3) .

Respuesta:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Cabe señalar que a veces es inapropiado a partir de la desigualdad r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) ir a la desigualdad h(x)<0 (≤, >, ≥), donde h(x) es un polinomio de grado superior a dos. Esto se aplica a los casos en los que es más difícil factorizar el polinomio h(x) que representar la expresión r(x)−s(x) como producto de binomios lineales y trinomios cuadráticos, por ejemplo, factorizando el factor común. . Expliquemos esto con un ejemplo.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Solución.

Esta es toda una desigualdad. Si movemos la expresión de su lado derecho a la izquierda, luego abrimos los corchetes y sumamos términos similares, obtenemos la desigualdad x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Resolverlo es muy difícil, ya que implica encontrar las raíces de un polinomio de cuarto grado. Es fácil comprobar que no tiene raíces racionales (podrían ser los números 1, −1, 19 o −19), pero es problemático buscar sus otras raíces. Por tanto, este camino es un callejón sin salida.

Busquemos otras posibles soluciones. Es fácil ver que después de transferir la expresión del lado derecho de la desigualdad entera original al izquierdo, podemos sacar el factor común x 2 −2 x−1 de entre paréntesis:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

La transformación realizada es equivalente, por lo tanto la solución a la desigualdad resultante también será una solución a la desigualdad original.

Y ahora podemos encontrar los ceros de la expresión ubicada en el lado izquierdo de la desigualdad resultante, para esto necesitamos x 2 −2·x−1=0 y x 2 −2·x−19=0. Sus raíces son números. . Esto nos permite llegar a la desigualdad equivalente y podemos resolverla usando el método del intervalo:

Anotamos la respuesta según el dibujo.

Respuesta:

Para concluir este punto, solo me gustaría agregar que no siempre es posible encontrar todas las raíces del polinomio h(x) y, como consecuencia, expandirlo a un producto de binomios lineales y trinomios cuadrados. En estos casos no hay forma de resolver la desigualdad h(x)<0 (≤, >, ≥), lo que significa que no hay manera de encontrar una solución a la ecuación racional entera original.

Resolver desigualdades racionales fraccionarias

Ahora resolvamos el siguiente problema: digamos que necesitamos resolver una desigualdad racional fraccionaria con una variable x de la forma r(x) , ≥), donde r(x) y s(x) son algunas expresiones racionales, y al menos una de ellas es fraccionaria. Presentemos inmediatamente el algoritmo para resolverlo, luego de lo cual haremos las explicaciones necesarias.

Algoritmo para resolver desigualdades racionales fraccionarias. con una variable r(x) , ≥):

• Primero necesitas encontrar el rango de valores aceptables (APV) de la variable x para la desigualdad original.
• A continuación, debes mover la expresión del lado derecho de la desigualdad hacia la izquierda y convertir la expresión r(x)−s(x) formada allí a la forma de una fracción p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son expresiones enteras que son producto de binomios lineales, trinomios cuadráticos indescomponibles y sus potencias con exponente natural.
• A continuación, debemos resolver la desigualdad resultante utilizando el método del intervalo.
• Finalmente, de la solución obtenida en el paso anterior, es necesario excluir los puntos que no están incluidos en la ODZ de la variable x para la desigualdad original, que se encontró en el primer paso.

De esta forma se obtendrá la solución deseada a la desigualdad racional fraccionaria.

El segundo paso del algoritmo requiere explicación. Al transferir la expresión del lado derecho de la desigualdad al izquierdo se obtiene la desigualdad r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), que es equivalente al original. Todo está claro aquí. Pero surgen preguntas por su posterior transformación a la forma p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

La primera pregunta es: “¿Es siempre posible llevarlo a cabo”? Teóricamente sí. Sabemos que todo es posible. El numerador y denominador de una fracción racional contienen polinomios. Y del teorema fundamental del álgebra y del teorema de Bezout se deduce que cualquier polinomio de grado n con una variable se puede representar como un producto de binomios lineales. Esto explica la posibilidad de llevar a cabo esta transformación.

En la práctica, es bastante difícil factorizar polinomios y, si su grado es superior a cuatro, no siempre es posible. Si la factorización es imposible, entonces no habrá manera de encontrar una solución a la desigualdad original, pero estos casos normalmente no ocurren en la escuela.

Segunda pregunta: “¿La desigualdad p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) es equivalente a la desigualdad r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), y por tanto al original”? Puede ser equivalente o desigual. Es equivalente cuando la ODZ para la expresión p(x)/q(x) coincide con la ODZ para la expresión r(x)−s(x) . En este caso, el último paso del algoritmo será redundante. Pero la ODZ para la expresión p(x)/q(x) puede ser más ancha que la ODZ para la expresión r(x)−s(x) . La expansión de ODZ puede ocurrir cuando las fracciones se reducen, como, por ejemplo, al pasar de A . Además, la expansión de ODZ puede facilitarse incorporando términos similares, como, por ejemplo, al pasar de A . El último paso del algoritmo está destinado a este caso, en el que se excluyen las decisiones extrañas que surgen debido a la expansión de la ODZ. Sigamos esto cuando veamos las soluciones a los ejemplos siguientes.

Supongamos que necesitamos encontrar los valores numéricos de x en los que varias desigualdades racionales se convierten simultáneamente en verdaderas desigualdades numéricas. En tales casos, dicen que es necesario resolver un sistema de desigualdades racionales con una incógnita x.

Para resolver un sistema de desigualdades racionales, es necesario encontrar todas las soluciones para cada desigualdad del sistema. Entonces la parte común de todas las soluciones encontradas será la solución del sistema.

Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades.

(x-1)(x-5)(x-7)< 0,

Primero resolvemos la desigualdad.

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Usando el método de intervalo (Fig. 1), encontramos que el conjunto de todas las soluciones a la desigualdad (2) consta de dos intervalos: (-, 1) y (5, 7).

Figura 1

Ahora resolvamos la desigualdad.

Usando el método de intervalo (Fig. 2), encontramos que el conjunto de todas las soluciones a la desigualdad (3) también consta de dos intervalos: (2, 3) y (4, +).

Ahora necesitamos encontrar la parte común de la solución de las desigualdades (2) y (3). Dibujemos un eje de coordenadas x y marquemos las soluciones encontradas en él. Ahora está claro que la parte común de la solución de las desigualdades (2) y (3) es el intervalo (5, 7) (Fig. 3).

En consecuencia, el conjunto de todas las soluciones del sistema de desigualdades (1) constituye el intervalo (5, 7).

Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades.

x2 - 6x + 10< 0,

Primero resolvamos la desigualdad.

x2 - 6x + 10< 0.

Usando el método de aislar un cuadrado completo, podemos escribir que

x2 - 6x + 10 = x2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

Por lo tanto, la desigualdad (2) se puede escribir en la forma

(x - 3) 2 + 1< 0,

de lo que queda claro que no tiene solución.

Ahora no tienes que resolver la desigualdad.

pues la respuesta ya es clara: el sistema (1) no tiene solución.

Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades.

Veamos primero la primera desigualdad; tenemos

1 < 0, < 0.

Usando la curva de signos encontramos soluciones a esta desigualdad: x< -2; 0 < x < 2.

Resolvamos ahora la segunda desigualdad del sistema dado. Tenemos x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Habiendo notado las soluciones encontradas a la primera y segunda desigualdad en la recta numérica general (Fig.6), encontramos los intervalos donde estas soluciones coinciden (intersección de la solución): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades.

Transformemos la primera desigualdad del sistema:

x 3 (x - 10)(x + 10) 0, o x(x - 10)(x + 10) 0

(ya que los factores de las potencias impares pueden sustituirse por los factores correspondientes de la primera potencia); Usando el método del intervalo, encontraremos soluciones a la última desigualdad: -10 x 0, x 10.

Considere la segunda desigualdad del sistema; tenemos

Encontramos (Fig.8) x -9; 3< x < 15.

Combinando las soluciones encontradas obtenemos (Fig. 9) x 0; x > 3.

Ejemplo: Encuentre soluciones enteras al sistema de desigualdades:

x + y< 2,5,

Solución: llevemos el sistema al formulario.

Sumando la primera y la segunda desigualdad tenemos y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

donde -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Como las funciones numéricas más simples, muchas

miembros y p					x n y funciones representables en forma de
llevando dos polinomios, es decir, funciones racionales.
El número α se llama cero de la función.						y P n x o la raíz de un polinomio
P n x si P n a 0 .
Por ejemplo,	polinomio P x 6 5x x 2					tiene dos ceros x 2 y x 3, entonces
como P 2 0		P 3 0.	Un polinomio puede no tener ningún cero.

ciones de una variable o puntos críticos de una función racional

y n . qx

1x6

Por ejemplo, para la función y

x1x2

x1,

x6.

Los valores lógicos de la variable son:

x2, x1,

Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene sólo funciones racionales.

Las desigualdades racionales a menudo se pueden resolver mediante el llamado método de intervalos. Este método se basa en una propiedad importante de una función racional: en el intervalo entre sus dos puntos críticos vecinos, la función racional conserva su signo.

El método de intervalo es el siguiente. La desigualdad racional conduce a la forma:

					0 (en caso de desigualdad estricta);
					0 (en caso de desigualdad no estricta).

Luego encuentre todos los puntos críticos de la función racional. Estos puntos están marcados en la recta numérica. Toda la recta numérica está dividida por puntos críticos.

apunta a un número finito de intervalos, en cada uno de los cuales el lado izquierdo de la desigualdad conserva su signo. Para determinar el signo del lado izquierdo en todo.

de este intervalo y así determinar si este intervalo está incluido en el conjunto de soluciones a esta desigualdad.

En cuanto a los puntos críticos propiamente dichos, en el caso de desigualdad estricta

				0 obviamente no están incluidos en el conjunto de soluciones en el caso de las no estructuradas;
	desigualdades de gogo							ceros del polinomio	P x están incluidos en el set.

soluciones, a menos que sean ceros del polinomio Q x .

Tenga en cuenta que el método del intervalo es aplicable sólo cuando los ceros de los polinomios P ​​x y Q x son conocidos (o pueden encontrarse), es decir, críticos

valores lógicos de la variable para una función racional
Ejemplo 1. Resolver desigualdad	x3 3 x2 x3
	x2 3x2
Solución. Ceros del polinomio en el denominador: x 1					yx2. Bien-
si el polinomio en el numerador es fácil de encontrar.

De hecho, x 3 3x 2 x 3x 2 x 3x 3x 3x 1x 1 .

La desigualdad ahora se puede escribir de la siguiente manera:

x3x1x10.

x1x2

Puntos críticos de una función racional: x 2,x 1,x 1,x 3.

El eje numérico está dividido en 5 intervalos por estos puntos. Marca los puntos en el eje numérico.

Para determinar el signo de la función en cada intervalo, puede proceder de la siguiente manera. Observamos que para x 3 todos los factores lineales del numerador y denominador de la función racional son positivos y, en consecuencia,

concretamente, en el intervalo 3; la función acepta sólo valores positivos.

Al pasar por el punto x 3 del intervalo 3; al intervalo 1; 3, sólo uno de los factores lineales, es decir, 3, cambia de signo y, por tanto, la función se vuelve negativa.

Luego, pasando al siguiente intervalo 1; 1, establecemos que el signo cambia solo para el factor x 1. Esto significa que al pasar por el punto x 1, el lado izquierdo de la desigualdad cambia de signo. Al pasar por el punto x 1, el signo de la función obviamente se conserva, ya que el factor x 1 está presente tanto en el numerador como en el denominador de la función racional. Finalmente, pasando al último intervalo; 2 vuelve a ir acompañado de un cambio de signo de la función. Registramos la alternancia de signos en la figura.

Dado que la desigualdad es estricta, los puntos críticos en sí mismos no son soluciones.

Respuesta. 2; 1 1;1 3;.

En el proceso de resolver esta desigualdad, puede resultar tentador reemplazarla desde el principio por una desigualdad más simple.

x1x3

Una simplificación de este tipo (realizada sin reservas) inducirá a error. La desigualdad resultante no es equivalente a la original, ya que su conjunto de soluciones incluye x 1, y este valor de la variable no es una solución a esta desigualdad.

	x3 2
Ejemplo 2: resolver desigualdad

4xx

Puntos críticos de una función racional: x 3 ,x 0 ,x 4. El eje numérico se divide en 4 intervalos, en cada uno de los cuales se determina fácilmente el signo de la función.

Al determinar el signo, solo es necesario controlar el cambio de signo de los factores lineales del denominador, ya que los factores cuadráticos son numéricamente

para x 32 y x 2 x 1 son positivos en todos los intervalos. De los tres puntos críticos, sólo x 3 está incluido en el conjunto de soluciones de la desigualdad.

Respuesta. 3 0;4 .

Ejemplo 3. Encuentra el dominio de una función.
	x2 x1
							x31

Para encontrar el dominio de definición de una función dada, necesitas resolver el problema.

igualdad:

x2 x1

x31

Llevémoslo a la forma estándar:

2x1x 2x1 2x1

x2 x2

x31

x31

y x 2 y escribe la desigualdad

Encontrar puntos críticos

como sigue:

x1x2

x1 x2 x1

Dado que x 2 x 1 0 para todos los valores de la variable, vamos a igual

fuerte desigualdad x 1 x 2 0.

Los puntos críticos dividen la recta numérica en tres intervalos.

+ –

Determinamos el signo del lado izquierdo de la desigualdad en cada intervalo. Examinemos los puntos críticos propiamente dichos: el punto x 2 es el cero del numerador y, como la desigualdad no es estricta, está incluido en el conjunto de soluciones. El punto x 1, aunque es el cero del numerador, no pertenece al conjunto de soluciones porque convierte el cero en denominador.

Respuesta: ; 1 1;2 .

2.1. Problemas para resolver de forma independiente.

1 2x

11 7x

3x2x2

2x2

x2 6x9

x 48 x 316 x 2

x2 6x5

x2 3x4