Números irracionales descubiertos. Números racionales e irracionales

Los antiguos matemáticos ya conocían un segmento de longitud unitaria: conocían, por ejemplo, la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado, lo que equivale a la irracionalidad del número.

Irracionales son:

Ejemplos de prueba de irracionalidad

raíz de 2

Supongamos lo contrario: es racional, es decir, se representa en forma de fracción irreducible, donde y son números enteros. Elevemos al cuadrado la supuesta igualdad:

.

De ello se deduce que par es par y . Que esté donde está el todo. Entonces

Por lo tanto, incluso significa incluso y. Encontramos que y son pares, lo que contradice la irreductibilidad de la fracción. Esto significa que la suposición inicial era incorrecta y - ir número racional.

Logaritmo binario del número 3

Supongamos lo contrario: racional, es decir, representado como una fracción, donde y son números enteros. Dado que , y se puede elegir como positivo. Entonces

Pero pares e impares. Obtenemos una contradicción.

mi

Historia

El concepto de números irracionales fue adoptado implícitamente por los matemáticos indios en el siglo VII a. C., cuando Manava (c. 750 a. C. - c. 690 a. C.) descubrió que raíces cuadradas alguno números naturales, como 2 y 61, no se pueden expresar explícitamente.

La primera prueba de la existencia de números irracionales suele atribuirse a Hipaso de Metaponto (c. 500 a. C.), un pitagórico que encontró esta prueba estudiando las longitudes de los lados del pentagrama. En la época de los pitagóricos, se creía que existía una única unidad de longitud, suficientemente pequeña e indivisible, que entraba en cualquier segmento un número entero de veces. Sin embargo, Hipasus argumentó que no existe una unidad única de longitud, ya que la suposición de su existencia conduce a una contradicción. Demostró que si la hipotenusa de un isósceles triangulo rectángulo contiene un número entero de segmentos unitarios, entonces este número debe ser par e impar. La prueba quedó así:

• La razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto de un triángulo rectángulo isósceles se puede expresar como a:b, Dónde a Y b elegido el más pequeño posible.
• Según el teorema de Pitágoras: a² = 2 b².
• Porque a- incluso, a debe ser par (ya que el cuadrado de un número impar sería impar).
• Porque a:b irreducible b debe ser extraño.
• Porque a incluso, denotamos a = 2y.
• Entonces a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², por lo tanto b- incluso, entonces b incluso.
• Sin embargo, se ha demostrado que b extraño. Contradicción.

Los matemáticos griegos llamaron a esta proporción de cantidades inconmensurables Álogos(indescriptible), pero según las leyendas no le rindieron el debido respeto a Hipasus. Existe una leyenda que dice que Hipaso hizo el descubrimiento durante un viaje por mar y fue arrojado por la borda por otros pitagóricos "por crear un elemento del universo que niega la doctrina de que todas las entidades del universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones". El descubrimiento de Hipaso desafió las matemáticas pitagóricas problema grave, destruyendo la suposición subyacente de toda la teoría de que los números y los objetos geométricos son uno e inseparables.

Ver también

Notas

Sistemas numéricos
Cálculo conjuntos	Números naturales () Enteros ()

Comprender los números, especialmente los naturales, es una de las "habilidades" matemáticas más antiguas. Muchas civilizaciones, incluso las modernas, han atribuido ciertas propiedades místicas a los números debido a su enorme importancia para describir la naturaleza. A pesar de ciencia moderna y las matemáticas no confirman estas propiedades “mágicas”, la importancia de la teoría de números es innegable.

Históricamente, primero aparecieron una variedad de números naturales, luego, con bastante rapidez, se les agregaron fracciones y números irracionales positivos. Se introdujeron cero y números negativos después de estos subconjuntos del conjunto. números reales. El último conjunto, el conjunto de los números complejos, apareció sólo con el desarrollo de la ciencia moderna.

En las matemáticas modernas, los números no se introducen en un orden histórico, aunque sí muy cercano a él.

Números naturales $\mathbb(N)$

El conjunto de números naturales a menudo se denota como $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, y a menudo se completa con cero para denotar $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ define las operaciones de suma (+) y multiplicación ($\cdot$) con las siguientes propiedades para cualquier $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ el conjunto $\mathbb(N)$ es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ conmutatividad
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociatividad
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributividad
5. $a\cdot 1=a$ es un elemento neutral para la multiplicación

Dado que el conjunto $\mathbb(N)$ contiene un elemento neutro para la multiplicación pero no para la suma, agregar un cero a este conjunto garantiza que incluya un elemento neutro para la suma.

Además de estas dos operaciones, las relaciones “menores que” ($

1. $a b$ tricotomía
2. si $a\leq b$ y $b\leq a$, entonces $a=b$ antisimetría
3. si $a\leq b$ y $b\leq c$, entonces $a\leq c$ es transitivo
4. si $a\leq b$ entonces $a+c\leq b+c$
5. si $a\leq b$ entonces $a\cdot c\leq b\cdot c$

Enteros $\mathbb(Z)$

Ejemplos de números enteros:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Resolver la ecuación $a+x=b$, donde $a$ y $b$ son números naturales conocidos y $x$ es un número natural desconocido, requiere la introducción nueva operación- resta(-). Si hay un número natural $x$ que satisface esta ecuación, entonces $x=b-a$. Sin embargo, esta ecuación particular no necesariamente tiene una solución en el conjunto $\mathbb(N)$, por lo que consideraciones prácticas requieren expandir el conjunto de números naturales para incluir soluciones a dicha ecuación. Esto lleva a la introducción de un conjunto de números enteros: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Dado que $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, es lógico suponer que las operaciones previamente introducidas $+$ y $\cdot$ y las relaciones $ 1. $0+a=a+0=a$ hay un elemento neutro para la suma
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ hay un número opuesto $-a$ para $a$

Propiedad 5.:
5. si $0\leq a$ y $0\leq b$, entonces $0\leq a\cdot b$

El conjunto $\mathbb(Z)$ también es cerrado bajo la operación de resta, es decir, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Números racionales $\mathbb(Q)$

Ejemplos de números racionales:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Ahora considere ecuaciones de la forma $a\cdot x=b$, donde $a$ y $b$ son números enteros conocidos y $x$ es una incógnita. Para que la solución sea posible, es necesario introducir la operación de división ($:$), y la solución toma la forma $x=b:a$, es decir, $x=\frac(b)(a)$ . Nuevamente surge el problema de que $x$ no siempre pertenece a $\mathbb(Z)$, por lo que es necesario expandir el conjunto de números enteros. Esto introduce el conjunto de números racionales $\mathbb(Q)$ con elementos $\frac(p)(q)$, donde $p\in \mathbb(Z)$ y $q\in \mathbb(N)$. El conjunto $\mathbb(Z)$ es un subconjunto en el cual cada elemento $q=1$, por lo tanto $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ y las operaciones de suma y multiplicación se extienden a este conjunto según las siguientes reglas, que preservan todas las propiedades anteriores en el conjunto $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

La división se introduce de la siguiente manera:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

En el conjunto $\mathbb(Q)$ la ecuación $a\cdot x=b$ tiene la única solución para cada $a\neq 0$ (la división por cero no está definida). Esto significa que hay un elemento inverso $\frac(1)(a)$ o $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

El orden del conjunto $\mathbb(Q)$ se puede ampliar de la siguiente manera:
$\frac(p_1)(q_1)

El conjunto $\mathbb(Q)$ tiene una propiedad importante: entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos otros números racionales, por lo tanto, no hay dos números racionales adyacentes, a diferencia de los conjuntos de números naturales y enteros.

Números irracionales $\mathbb(I)$

Ejemplos de números irracionales:
$\sqrt(2) \aproximadamente 1.41422135...$
$\pi\aproximadamente 3,1415926535...$

Dado que entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos otros números racionales, es fácil concluir erróneamente que el conjunto de números racionales es tan denso que no hay necesidad de expandirlo más. Incluso Pitágoras cometió ese error en su época. Sin embargo, sus contemporáneos ya refutaron esta conclusión al estudiar las soluciones de la ecuación $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) en el conjunto de los números racionales. Para resolver tal ecuación, es necesario introducir el concepto de raíz cuadrada, y luego la solución de esta ecuación tiene la forma $x=\sqrt(2)$. Una ecuación como $x^2=a$, donde $a$ es un número racional conocido y $x$ es desconocido, no siempre tiene una solución en el conjunto de números racionales, y nuevamente surge la necesidad de expandir la ecuación. colocar. Surge un conjunto de números irracionales, y números como $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pertenecen a este conjunto.

Números reales $\mathbb(R)$

La unión de los conjuntos de números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales. Dado que $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, nuevamente es lógico suponer que las operaciones y relaciones aritméticas introducidas conservan sus propiedades en el nuevo conjunto. La demostración formal de esto es muy difícil, por lo que las propiedades antes mencionadas de las operaciones y relaciones aritméticas en el conjunto de los números reales se introducen como axiomas. En álgebra, tal objeto se llama campo, por lo que se dice que el conjunto de números reales es un campo ordenado.

Para que la definición del conjunto de números reales sea completa, es necesario introducir un axioma adicional que distinga los conjuntos $\mathbb(Q)$ y $\mathbb(R)$. Supongamos que $S$ es un subconjunto no vacío del conjunto de números reales. Un elemento $b\in \mathbb(R)$ se llama límite superior de un conjunto $S$ si $\forall x\in S$ contiene $x\leq b$. Entonces decimos que el conjunto $S$ está acotado arriba. El límite superior más pequeño del conjunto $S$ se llama supremo y se denota $\sup S$. Los conceptos de límite inferior, conjunto acotado por debajo e infinum $\inf S$ se introducen de manera similar. Ahora el axioma que falta se formula de la siguiente manera:

Cualquier subconjunto no vacío y con límite superior del conjunto de números reales tiene un supremo.
También se puede demostrar que el campo de números reales definido de la forma anterior es único.

Números complejos$\mathbb(C)$

Ejemplos de números complejos:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ donde $i = \sqrt(-1)$ o $i^2 = -1$

El conjunto de números complejos representa todos los pares ordenados de números reales, es decir, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, en los cuales las operaciones de La suma y la multiplicación se definen de la siguiente manera:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Hay varias formas de escribir números complejos, de las cuales la más común es $z=a+ib$, donde $(a,b)$ es un par de números reales y el número $i=(0,1)$. se llama unidad imaginaria.

Es fácil demostrar que $i^2=-1$. Extender el conjunto $\mathbb(R)$ al conjunto $\mathbb(C)$ nos permite determinar la raíz cuadrada de números negativos, razón por la cual se introdujo el conjunto de números complejos. También es fácil demostrar que un subconjunto del conjunto $\mathbb(C)$ dado por $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ satisface todos los axiomas de los números reales, por lo tanto $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, o $R\subset\mathbb(C)$.

La estructura algebraica del conjunto $\mathbb(C)$ respecto de las operaciones de suma y multiplicación tiene las siguientes propiedades:
1. conmutatividad de la suma y la multiplicación
2. asociatividad de la suma y la multiplicación
3. $0+i0$ - elemento neutral para la suma
4. $1+i0$ - elemento neutral para la multiplicación
5. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.
6. Existe un único inverso tanto para la suma como para la multiplicación.

¿Qué son los números irracionales? ¿Por qué se llaman así? ¿Dónde se utilizan y qué son? Pocas personas pueden responder estas preguntas sin pensar. Pero, de hecho, las respuestas son bastante simples, aunque no todos las necesitan y en situaciones muy raras.

Esencia y designación.

Los números irracionales son números infinitos no periódicos. La necesidad de introducir este concepto se debe a que para resolver los nuevos problemas que surgen, los conceptos previamente existentes de números reales o reales, enteros, naturales y racionales ya no eran suficientes. Por ejemplo, para calcular qué cantidad es el cuadrado de 2, es necesario utilizar infinito no periódico. decimales. Además, muchas ecuaciones simples tampoco tienen solución sin introducir el concepto de número irracional.

Este conjunto se denota como I. Y, como ya está claro, estos valores no se pueden representar como una fracción simple, cuyo numerador será un número entero y el denominador será

Por primera vez, de una forma u otra, los matemáticos indios se encontraron con este fenómeno en el siglo VII, cuando descubrieron que las raíces cuadradas de algunas cantidades no pueden indicarse explícitamente. Y la primera prueba de la existencia de tales números se atribuye al pitagórico Hippaso, quien lo hizo mientras estudiaba un triángulo rectángulo isósceles. Algunos otros científicos que vivieron antes de nuestra era hicieron una importante contribución al estudio de este conjunto. La introducción del concepto de números irracionales implicó una revisión del concepto existente. sistema matemático, por eso son tan importantes.

Origen del nombre

Si ratio traducido del latín es “fracción”, “ratio”, entonces el prefijo “ir”
le da a esta palabra el significado opuesto. Así, el nombre del conjunto de estos números indica que no pueden correlacionarse con un número entero o una fracción, y tienen un lugar separado. Esto se desprende de su esencia.

Puesto en la clasificación general

Los números irracionales, junto con los números racionales, pertenecen al grupo de los números reales o reales, que a su vez pertenecen a los números complejos. No existen subconjuntos, pero sí variedades algebraicas y trascendentales, de las que se hablará a continuación.

Propiedades

Dado que los números irracionales forman parte del conjunto de los números reales, se les aplican todas las propiedades que se estudian en aritmética (también se les llama leyes algebraicas básicas).

a + b = b + a (conmutatividad);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociatividad);

a + (-a) = 0 (existencia del número opuesto);

ab = ba (ley conmutativa);

(ab)c = a(bc) (distributividad);

a(b+c) = ab + ac (ley de distribución);

a x 1/a = 1 (existencia de un número recíproco);

La comparación también se realiza de acuerdo con leyes y principios generales:

Si a > b y b > c, entonces a > c (transitividad de la relación) y. etc.

Por supuesto, todos los números irracionales se pueden convertir utilizando aritmética básica. No existen reglas especiales para esto.

Además, el axioma de Arquímedes se aplica a los números irracionales. Afirma que para dos cantidades cualesquiera a y b, es cierto que si tomas a como término suficientes veces, puedes vencer a b.

Uso

A pesar de que en vida ordinaria No es muy frecuente que uno los encuentre; los números irracionales no se pueden contar. Hay una gran cantidad de ellos, pero son casi invisibles. Los números irracionales nos rodean por todas partes. Ejemplos que son familiares para todos son pi, que es 3,1415926..., o e, que es esencialmente la base logaritmo natural, 2.718281828... En álgebra, trigonometría y geometría hay que utilizarlos constantemente. Por cierto, significado famoso"proporción áurea", es decir, la proporción entre la parte mayor y la parte más pequeña, y viceversa, también

pertenece a este conjunto. El menos conocido “plateado” también.

En la recta numérica están ubicadas muy densamente, de modo que entre dos cantidades cualesquiera clasificadas como racionales, seguramente ocurrirá una irracional.

Todavía hay muchos problemas no resueltos asociado a este conjunto. Existen criterios como la medida de la irracionalidad y la normalidad de un número. Los matemáticos siguen estudiando los ejemplos más significativos para determinar si pertenecen a un grupo u otro. Por ejemplo, se cree que e es un número normal, es decir, la probabilidad de que aparezcan diferentes dígitos en su notación es la misma. En cuanto a pi, todavía se están realizando investigaciones al respecto. La medida de irracionalidad es un valor que muestra qué tan bien se puede aproximar un número dado mediante números racionales.

Algebraico y trascendental

Como ya se mencionó, los números irracionales se dividen convencionalmente en algebraicos y trascendentales. Condicionalmente, ya que, estrictamente hablando, esta clasificación se utiliza para dividir el conjunto C.

Esta designación oculta números complejos, que incluyen números reales o reales.

Entonces, algebraico es un valor que es la raíz de un polinomio que no es idénticamente igual a cero. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 estaría en esta categoría porque es una solución de la ecuación x 2 - 2 = 0.

Todos los demás números reales que no cumplen esta condición se llaman trascendentales. Esta variedad incluye los ejemplos más famosos y ya mencionados: el número pi y la base del logaritmo natural e.

Curiosamente, ni uno ni otro fueron desarrollados originalmente por matemáticos en esta capacidad; su irracionalidad y trascendencia quedaron demostradas muchos años después de su descubrimiento; Para pi, la demostración se presentó en 1882 y se simplificó en 1894, poniendo fin a un debate de 2.500 años sobre el problema de la cuadratura del círculo. Todavía no se ha estudiado completamente, por lo que los matemáticos modernos tienen algo en qué trabajar. Por cierto, el primer cálculo bastante preciso de este valor lo realizó Arquímedes. Antes que él, todos los cálculos eran demasiado aproximados.

Para e (el número de Euler o Napier), la prueba de su trascendencia se encontró en 1873. Se utiliza para resolver ecuaciones logarítmicas.

Otros ejemplos incluyen los valores de seno, coseno y tangente para cualquier valor algebraico distinto de cero.

Todos los números racionales se pueden representar como una fracción común. Esto se aplica a números enteros (por ejemplo, 12, –6, 0) y fracciones decimales finitas (por ejemplo, 0,5; –3,8921) y fracciones decimales periódicas infinitas (por ejemplo, 0,11(23); –3,(87 )).

Sin embargo infinitos decimales no periódicos representar en la forma fracciones ordinarias imposible. eso es lo que son números irracionales(es decir, irracional). Un ejemplo de tal número es el número π, que es aproximadamente igual a 3,14. Sin embargo, no se puede determinar exactamente a qué equivale, ya que después del número 4 hay una serie interminable de otros números en los que no se pueden distinguir períodos repetidos. Además, aunque el número π no se puede expresar con precisión, tiene un significado geométrico específico. El número π es la relación entre la longitud de cualquier círculo y la longitud de su diámetro. Por tanto, los números irracionales existen en la naturaleza, al igual que los números racionales.

Otro ejemplo de números irracionales son las raíces cuadradas de números positivos. Extraer raíces de algunos números da valores racionales, de otros, irracionales. Por ejemplo, √4 = 2, es decir, la raíz de 4 es un número racional. Pero √2, √5, √7 y muchos otros dan como resultado números irracionales, es decir, sólo se pueden extraer por aproximación, redondeando a una determinada cifra decimal. En este caso, la fracción se vuelve no periódica. Es decir, es imposible decir exacta y definitivamente cuál es la raíz de estos números.

Entonces √5 es un número que se encuentra entre los números 2 y 3, ya que √4 = 2 y √9 = 3. También podemos concluir que √5 está más cerca de 2 que de 3, ya que √4 está más cerca de √5 que √9 a √5. De hecho, √5 ≈ 2,23 o √5 ≈ 2,24.

Los números irracionales también se obtienen en otros cálculos (y no sólo al extraer raíces) y pueden ser negativos.

En relación con los números irracionales, podemos decir que no importa qué segmento unitario tomemos para medir la longitud expresada por dicho número, no podremos medirlo definitivamente.

En las operaciones aritméticas, los números irracionales pueden participar junto con los racionales. Al mismo tiempo, hay una serie de regularidades. Por ejemplo, si en una operación aritmética sólo intervienen números racionales, el resultado siempre será un número racional. Si en la operación solo participan los irracionales, entonces es imposible decir sin ambigüedades si el resultado será un número racional o irracional.

Por ejemplo, si multiplicas dos números irracionales √2 * √2, obtienes 2; este es un número racional. Por otro lado, √2 * √3 = √6 es un número irracional.

Si una operación aritmética involucra números racionales e irracionales, entonces el resultado será irracional. Por ejemplo, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

¿Por qué √17 – 4 es un número irracional? Imaginemos que el resultado es un número racional x. Entonces √17 = x + 4. Pero x + 4 es un número racional, porque asumimos que x es racional. El número 4 también es racional, por lo que x + 4 es racional. Sin embargo, un número racional no puede ser igual al número irracional √17. Por lo tanto, la suposición de que √17 – 4 da un resultado racional es incorrecta. El resultado de una operación aritmética será irracional.

Sin embargo, existe una excepción a esta regla. Si multiplicamos un número irracional por 0, obtenemos el número racional 0.

Los antiguos matemáticos ya conocían un segmento de longitud unitaria: conocían, por ejemplo, la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado, lo que equivale a la irracionalidad del número.

Irracionales son:

Ejemplos de prueba de irracionalidad

raíz de 2

Supongamos lo contrario: es racional, es decir, se representa en forma de fracción irreducible, donde y son números enteros. Elevemos al cuadrado la supuesta igualdad:

.

De ello se deduce que par es par y . Que esté donde está el todo. Entonces

Por lo tanto, incluso significa incluso y. Encontramos que y son pares, lo que contradice la irreductibilidad de la fracción. Esto significa que la suposición original era incorrecta y es un número irracional.

Logaritmo binario del número 3

Supongamos lo contrario: racional, es decir, representado como una fracción, donde y son números enteros. Dado que , y se puede elegir como positivo. Entonces

Pero pares e impares. Obtenemos una contradicción.

mi

Historia

El concepto de números irracionales fue adoptado implícitamente por los matemáticos indios en el siglo VII a. C., cuando Manava (c. 750 a. C. - c. 690 a. C.) descubrió que las raíces cuadradas de algunos números naturales, como 2 y 61, no se pueden expresar explícitamente. .

La primera prueba de la existencia de números irracionales suele atribuirse a Hipaso de Metaponto (c. 500 a. C.), un pitagórico que encontró esta prueba estudiando las longitudes de los lados del pentagrama. En la época de los pitagóricos, se creía que existía una única unidad de longitud, suficientemente pequeña e indivisible, que entraba en cualquier segmento un número entero de veces. Sin embargo, Hipasus argumentó que no existe una unidad única de longitud, ya que la suposición de su existencia conduce a una contradicción. Demostró que si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles contiene un número entero de segmentos unitarios, entonces este número debe ser par e impar. La prueba quedó así:

• La razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto de un triángulo rectángulo isósceles se puede expresar como a:b, Dónde a Y b elegido el más pequeño posible.
• Según el teorema de Pitágoras: a² = 2 b².
• Porque a- incluso, a debe ser par (ya que el cuadrado de un número impar sería impar).
• Porque a:b irreducible b debe ser extraño.
• Porque a incluso, denotamos a = 2y.
• Entonces a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², por lo tanto b- incluso, entonces b incluso.
• Sin embargo, se ha demostrado que b extraño. Contradicción.

Los matemáticos griegos llamaron a esta proporción de cantidades inconmensurables Álogos(indescriptible), pero según las leyendas no le rindieron el debido respeto a Hipaso. Existe una leyenda que dice que Hipaso hizo el descubrimiento durante un viaje por mar y fue arrojado por la borda por otros pitagóricos "por crear un elemento del universo que niega la doctrina de que todas las entidades del universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones". El descubrimiento de Hipaso planteó un serio problema para las matemáticas pitagóricas, destruyendo la suposición subyacente de que los números y los objetos geométricos eran uno e inseparables.

Ver también

Notas

Sistemas numéricos
Cálculo conjuntos	Números naturales () Enteros ()