Calculadora para sistemas de desigualdades cuadráticas. Conceptos básicos, resolución de sistemas de desigualdades lineales.

es cualquier conjunto de dos o más desigualdades lineales que contienen la misma cantidad desconocida

A continuación se muestran ejemplos de tales sistemas:

El intervalo de intersección de dos rayos es nuestra solución. Por lo tanto, la solución a esta desigualdad es toda incógnita situado entre dos y ocho.

Respuesta: incógnita

El uso de este tipo de mapeo para resolver un sistema de desigualdades a veces se denomina método de techo.

Definición: La intersección de dos conjuntos. A Y EN se llama tercer conjunto que incluye todos los elementos incluidos en A y en EN. Éste es el significado de la intersección de conjuntos de naturaleza arbitraria. Ahora consideramos en detalle los conjuntos numéricos, por lo que al encontrar desigualdades lineales, dichos conjuntos son rayos: codireccionales, contradireccionales, etc.

Averigüemos en realidad ejemplos descubrimiento sistemas lineales desigualdades, cómo determinar las intersecciones de conjuntos de soluciones a desigualdades individuales incluidas en el sistema.

calculemos sistema de desigualdades:

Coloquemos dos líneas de fuerza una debajo de la otra. En la parte superior trazaremos esos valores. INCÓGNITA, que satisfacen la primera desigualdad incógnita>7 , y en la parte inferior, que actúan como solución a la segunda desigualdad incógnita>10 Comparemos los resultados de las rectas numéricas y descubramos que ambas desigualdades se cumplirán cuando incógnita>10.

Respuesta: (10;+∞).

Lo hacemos por analogía con la primera muestra. En un eje numérico dado trazamos todos esos valores. incógnita para lo cual existe el primero desigualdad del sistema, y en el segundo eje numérico, situado debajo del primero, todos aquellos valores incógnita, para lo cual se satisface la segunda desigualdad del sistema. Comparemos estos dos resultados y determinemos que ambas desigualdades se cumplirán simultáneamente para todos los valores. incógnita ubicado entre 7 y 10, teniendo en cuenta los signos, obtenemos 7<x≤10

Respuesta: (7; 10].

Los siguientes problemas se resuelven de manera similar. sistemas de desigualdades.

En esta lección comenzaremos a estudiar sistemas de desigualdades. Primero, consideraremos sistemas de desigualdades lineales. Al comienzo de la lección, consideraremos dónde y por qué surgen los sistemas de desigualdades. A continuación, estudiaremos qué significa resolver un sistema y recordaremos la unión e intersección de conjuntos. Al final resolveremos ejemplos concretos de sistemas de desigualdades lineales.

Sujeto: DietaTodas las desigualdades y sus sistemas.

Lección:Principalconceptos, resolución de sistemas de desigualdades lineales

Hasta ahora hemos resuelto desigualdades individuales y les hemos aplicado el método del intervalo, estas podrían ser; desigualdades lineales, tanto cuadrado como racional. Pasemos ahora a resolver sistemas de desigualdades, primero sistemas lineales. Veamos un ejemplo de donde surge la necesidad de considerar sistemas de desigualdades.

Encuentra el dominio de una función.

Encuentra el dominio de una función.

Una función existe cuando existen ambas raíces cuadradas, es decir

¿Cómo resolver tal sistema? Es necesario encontrar todos los x que satisfagan tanto la primera como la segunda desigualdad.

Representamos en el eje del buey el conjunto de soluciones a la primera y segunda desigualdad.

El intervalo de intersección de dos rayos es nuestra solución.

Este método de representar una solución a un sistema de desigualdades a veces se denomina método del techo.

La solución del sistema es la intersección de dos conjuntos.

Representemos esto gráficamente. Tenemos un conjunto A de naturaleza arbitraria y un conjunto B de naturaleza arbitraria, que se cruzan.

Definición: La intersección de dos conjuntos A y B es el tercer conjunto que consta de todos los elementos incluidos en A y B.

Usando ejemplos específicos de resolución de sistemas lineales de desigualdades, consideremos cómo encontrar intersecciones de conjuntos de soluciones a desigualdades individuales incluidas en el sistema.

Resuelve el sistema de desigualdades:

Respuesta: (7; 10].

4. Resuelve el sistema

¿De dónde puede venir la segunda desigualdad del sistema? Por ejemplo, de la desigualdad

Designemos gráficamente las soluciones de cada desigualdad y encontremos el intervalo de su intersección.

Por tanto, si tenemos un sistema en el que una de las desigualdades satisface cualquier valor de x, entonces puede eliminarse.

Respuesta: el sistema es contradictorio.

Examinamos problemas de soporte típicos a los que se puede reducir la solución de cualquier sistema lineal de desigualdades.

Considere el siguiente sistema.

7.

A veces un sistema lineal está dado por una doble desigualdad; consideremos este caso.

8.

Analizamos los sistemas de desigualdades lineales, comprendimos de dónde vienen, analizamos los sistemas estándar a los que se pueden reducir todos los sistemas lineales y resolvimos algunos de ellos.

1. Mordkovich A.G. y otros. Álgebra 9º grado: Libro de texto. Para educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: enfermo.

2. Mordkovich A.G. y otros Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo.

3. Makarychev Yu. 9no grado: educativo. para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Álgebra. 9no grado. 16ª edición. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9no grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12ª ed., borrada. - M.: 2010. - 224 p.: enfermo.

6. Álgebra. 9no grado. En 2 partes, Parte 2. Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; Ed. A. G. Mordkovich. — 12ª ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: enfermo.

1. Portal de Ciencias Naturales ().

2. Complejo educativo y metodológico electrónico para la preparación de los grados 10-11 para los exámenes de ingreso en informática, matemáticas y lengua rusa ().

4. Centro Educativo “Enseñanza de la Tecnología” ().

5. Sección de matemáticas de College.ru ().

1. Mordkovich A.G. y otros Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. núm. 53; 54; 56; 57.

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Lección y presentación sobre el tema: "Sistemas de desigualdades. Ejemplos de soluciones"

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Sistema de desigualdades

Chicos, han estudiado desigualdades lineales y cuadráticas y han aprendido a resolver problemas sobre estos temas. Pasemos ahora a un nuevo concepto en matemáticas: un sistema de desigualdades. Un sistema de desigualdades es similar a un sistema de ecuaciones. ¿Recuerdas los sistemas de ecuaciones? Estudiaste sistemas de ecuaciones en séptimo grado, intenta recordar cómo los resolviste.

Introduzcamos la definición de un sistema de desigualdades.
Varias desigualdades con alguna variable x forman un sistema de desigualdades si necesitas encontrar todos los valores de x para los cuales cada una de las desigualdades forma una expresión numérica correcta.

Cualquier valor de x para el cual cada desigualdad toma la expresión numérica correcta es una solución a la desigualdad. También se puede llamar solución privada.
¿Qué es una solución privada? Por ejemplo, en la respuesta recibimos la expresión x>7. Entonces x=8, o x=123, o cualquier otro número mayor que siete es una solución particular, y la expresión x>7 es solución general. La solución general está formada por muchas soluciones privadas.

¿Cómo combinamos el sistema de ecuaciones? Así es, una llave, y por eso hacen lo mismo con las desigualdades. Veamos un ejemplo de un sistema de desigualdades: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si el sistema de desigualdades consta de expresiones idénticas, por ejemplo, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Entonces, ¿qué significa encontrar una solución a un sistema de desigualdades?
Una solución a una desigualdad es un conjunto de soluciones parciales a una desigualdad que satisfacen ambas desigualdades del sistema a la vez.

Escribimos la forma general del sistema de desigualdades como $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Denotemos $Х_1$ como la solución general de la desigualdad f(x)>0.
$X_2$ es la solución general a la desigualdad g(x)>0.
$X_1$ y $X_2$ son un conjunto de soluciones particulares.
La solución al sistema de desigualdades serán números que pertenecen tanto a $X_1$ como a $X_2$.
Recordemos las operaciones en conjuntos. ¿Cómo encontramos elementos de un conjunto que pertenecen a ambos conjuntos a la vez? Así es, existe un operativo de intersección para esto. Entonces, la solución a nuestra desigualdad será el conjunto $A= X_1∩ X_2$.

Ejemplos de soluciones a sistemas de desigualdades.

Veamos ejemplos de resolución de sistemas de desigualdades.

Resuelve el sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(casos)2x-4≤6\\-x-4
Solución.
a) Resuelve cada desigualdad por separado.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Marquemos nuestros intervalos en una línea de coordenadas.

La solución del sistema será el segmento de intersección de nuestros intervalos. La desigualdad es estricta, entonces el segmento será abierto.
Respuesta: (1;3).

B) También resolveremos cada desigualdad por separado.
$2x-4≤6; 2x≤10; x ≤ $5.
$-x-4-5$.


La solución del sistema será el segmento de intersección de nuestros intervalos. La segunda desigualdad es estricta, entonces el segmento quedará abierto por la izquierda.
Respuesta: (-5; 5].

Resumamos lo que hemos aprendido.
Digamos que es necesario resolver el sistema de desigualdades: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Entonces, el intervalo ($x_1; x_2$) es la solución a la primera desigualdad.
El intervalo ($y_1; y_2$) es la solución a la segunda desigualdad.
La solución de un sistema de desigualdades es la intersección de las soluciones de cada desigualdad.

Los sistemas de desigualdades pueden consistir no solo en desigualdades de primer orden, sino también en cualquier otro tipo de desigualdades.

Reglas importantes para la resolución de sistemas de desigualdades.
Si una de las desigualdades del sistema no tiene solución, entonces el sistema completo no tiene solución.
Si una de las desigualdades se cumple para cualquier valor de la variable, entonces la solución del sistema será la solución de la otra desigualdad.

Ejemplos.
Resuelve el sistema de desigualdades:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solución.
Resolvamos cada desigualdad por separado.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Resolvamos la segunda desigualdad.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solución a la desigualdad es el intervalo.
Dibujemos ambos intervalos en la misma recta y encontremos la intersección.
La intersección de intervalos es el segmento (4; 6].
Respuesta: (4;6].

Resuelve el sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(casos )$.

Solución.
a) La primera desigualdad tiene solución x>1.
Encontremos el discriminante de la segunda desigualdad.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Recordemos la regla: cuando una de las desigualdades no tiene solución, entonces todo el sistema no tiene solución.
Respuesta: No hay soluciones.

B) La primera desigualdad tiene solución x>1.
La segunda desigualdad es mayor que cero para todo x. Entonces la solución del sistema coincide con la solución de la primera desigualdad.
Respuesta: x>1.

Problemas sobre sistemas de desigualdades para solución independiente.

Resolver sistemas de desigualdades:
a) $\begin(casos)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(casos)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(casos)x^2-25 d) $\begin(casos)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(casos)$
e) $\begin(casos)x^2+36

Veamos ejemplos de cómo resolver un sistema de desigualdades lineales.

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Para resolver un sistema, necesitas cada una de sus desigualdades constituyentes. Solo se tomó la decisión de no escribir por separado, sino juntos, combinándolos con una llave.

En cada una de las desigualdades del sistema, movemos las incógnitas hacia un lado, las conocidas hacia el otro con signo opuesto:

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Después de la simplificación, ambos lados de la desigualdad deben dividirse por el número delante de X. Dividimos la primera desigualdad por un número positivo, por lo que el signo de la desigualdad no cambia. Dividimos la segunda desigualdad por un número negativo, por lo que se debe invertir el signo de la desigualdad:

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Marcamos la solución de las desigualdades en las rectas numéricas:

En respuesta, anotamos la intersección de las soluciones, es decir, la parte donde hay sombreado en ambas líneas.

Respuesta: x∈[-2;1).

En la primera desigualdad, eliminemos la fracción. Para hacer esto, multiplicamos ambas partes término por término por el mínimo común denominador 2. Cuando se multiplica por un número positivo, el signo de desigualdad no cambia.

En la segunda desigualdad abrimos los corchetes. El producto de la suma y la diferencia de dos expresiones es igual a la diferencia de los cuadrados de estas expresiones. En el lado derecho está el cuadrado de la diferencia entre las dos expresiones.

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Movemos las incógnitas a un lado, las conocidas al otro con signo contrario y simplificamos:

Dividimos ambos lados de la desigualdad por el número delante de X. En la primera desigualdad, dividimos por un número negativo, por lo que el signo de la desigualdad se invierte. En el segundo dividimos por un número positivo, el signo de desigualdad no cambia:

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Ambas desigualdades tienen un signo "menor que" (no importa que un signo sea estrictamente "menor que", el otro sea flexible, "menor que o igual"). No podemos marcar ambas soluciones, sino utilizar la regla " ". El menor es 1, por lo tanto el sistema se reduce a la desigualdad

Marcamos su solución en la recta numérica:

Respuesta: x∈(-∞;1].

Abriendo los paréntesis. En la primera desigualdad - . Es igual a la suma de los cubos de estas expresiones.

En el segundo, el producto de la suma y la diferencia de dos expresiones, que es igual a la diferencia de cuadrados. Como aquí hay un signo menos delante de los corchetes, es mejor abrirlos en dos etapas: primero use la fórmula y solo luego abra los corchetes, cambiando el signo de cada término al opuesto.

Movemos las incógnitas en una dirección, las conocidas en otra con signo opuesto:

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Ambos son mayores que los signos. Usando la regla de “más que más”, reducimos el sistema de desigualdades a una desigualdad. El mayor de los dos números es 5, por lo tanto,

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Marcamos la solución a la desigualdad en la recta numérica y anotamos la respuesta:

Respuesta: x∈(5;∞).

Dado que en álgebra los sistemas de desigualdades lineales ocurren no solo como tareas independientes, sino también durante la resolución varios tipos ecuaciones, desigualdades, etc., es importante dominar este tema a tiempo.

La próxima vez veremos ejemplos de resolución de sistemas de desigualdades lineales en casos especiales cuando una de las desigualdades no tiene solución o su solución es cualquier número.

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