EntradaCómo resolver una ecuación con diferentes grados. Conferencia: “Métodos para resolver ecuaciones exponenciales.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está contenida en el exponente. La ecuación exponencial más simple tiene la forma: a x = a b, donde a> 0, a 1, x es desconocida.
Las principales propiedades de las potencias mediante las cuales se transforman las ecuaciones exponenciales: a>0, b>0.
Al decidir ecuaciones exponenciales También utilizan las siguientes propiedades de la función exponencial: y = a x, a > 0, a1:
Para representar un número como una potencia, use la identidad logarítmica básica: b = , a > 0, a1, b > 0.
Problemas y pruebas sobre el tema "Ecuaciones exponenciales".
- Ecuaciones exponenciales
Lecciones: 4 Asignaciones: 21 Pruebas: 1
- Ecuaciones exponenciales - Temas importantes para repasar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Tareas: 14
- Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. - Demostrativo y función logarítmica 11mo grado
Lecciones: 1 Asignaciones: 15 Pruebas: 1
- §2.1. Resolver ecuaciones exponenciales
Lecciones: 1 Tareas: 27
- §7 Ecuaciones y desigualdades exponenciales y logarítmicas - Sección 5. Funciones exponenciales y logarítmicas, grado 10
Lecciones: 1 Tareas: 17
Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, debes conocer las propiedades básicas de las potencias, las propiedades de la función exponencial y la identidad logarítmica básica.
Al resolver ecuaciones exponenciales, se utilizan dos métodos principales:
- transición de la ecuación a f(x) = a g(x) a la ecuación f(x) = g(x);
- introducción de nuevas líneas.
Ejemplos.
1. Ecuaciones reducidas a lo más simple. Se resuelven reduciendo ambos lados de la ecuación a una potencia con la misma base.
3 x = 9 x – 2 .
Solución:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
Respuesta: 4.
2. Ecuaciones resueltas quitando el factor común de paréntesis.
Solución:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
Respuesta: 3.
3. Ecuaciones resueltas mediante cambio de variable.
Solución:
2 2x + 2x – 12 = 0
Denotamos 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. La ecuación no tiene soluciones, porque 2 x > 0.
segundo) 2 x = 3; 2x = 2 Iniciar sesión 2 3 ; x = registro 2 3.
Respuesta: registro 2 3.
4. Ecuaciones que contienen potencias con dos bases diferentes (no reducibles entre sí).
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.
3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2x-2 = 5x-2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.
Respuesta: 2.
5. Ecuaciones que son homogéneas con respecto a a x y b x.
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.
Solución:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Denotemos (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y2 = ½. 
Respuesta: iniciar sesión 3/2 2; - registro 3/2 2.
En este artículo conocerás todos los tipos. ecuaciones exponenciales y algoritmos para resolverlos, aprende a reconocer a qué tipo pertenece ecuación exponencial, que necesitas resolver, y aplica el método apropiado para resolverlo. Solución detallada de ejemplos. ecuaciones exponenciales Puedes ver cada tipo en las VIDEOLECCIONES correspondientes.
Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita está contenida en el exponente.
Antes de comenzar a resolver una ecuación exponencial, es útil hacer algunas cosas acciones preliminares , lo que puede facilitar significativamente el proceso de resolución del mismo. Estos son los pasos:
1. Divida todas las bases de potencias en factores primos.
2. Presentar las raíces en grado.
3. decimales Imagínese como los ordinarios.
4. Escribe números mixtos como fracciones impropias.
Te darás cuenta de los beneficios de estas acciones en el proceso de resolución de ecuaciones.
Veamos los tipos principales. ecuaciones exponenciales y algoritmos para resolverlos.
1. Ecuación de la forma
Esta ecuación es equivalente a la ecuación
Mira la solución de la ecuación en este VIDEO TUTORIAL 
este tipo.
2. Ecuación de la forma
En ecuaciones de este tipo:
b) los coeficientes de la incógnita en el exponente son iguales.
Para resolver esta ecuación, debes factorizar el factor más pequeño.
Un ejemplo de resolución de una ecuación de este tipo:
mira el VIDEO TUTORIAL.
3. Ecuación de la forma
Las ecuaciones de este tipo difieren en que
a) todos los grados tienen las mismas bases
b) los coeficientes de la incógnita en el exponente son diferentes.
Las ecuaciones de este tipo se resuelven mediante cambios de variables. Antes de introducir un reemplazo, es aconsejable deshacerse de los términos libres en el exponente. (, , etc)
Mira el VIDEO TUTORIAL para resolver este tipo de ecuación:
4.
Ecuaciones homogéneas amable
Rasgos distintivos de ecuaciones homogéneas:
a) todos los monomios tienen el mismo grado,
b) el término libre es cero,
c) la ecuación contiene potencias con dos bases diferentes.
Las ecuaciones homogéneas se resuelven utilizando un algoritmo similar.
Para resolver este tipo de ecuación, dividimos ambos lados de la ecuación por (se puede dividir por o por)
¡Atención! Al dividir los lados derecho e izquierdo de una ecuación por una expresión que contiene una incógnita, puedes perder raíces. Por tanto, es necesario comprobar si las raíces de la expresión por la que dividimos ambos lados de la ecuación son las raíces de la ecuación original.
En nuestro caso, como la expresión no es cero para ningún valor de la incógnita, podemos dividir por él sin miedo. Dividamos el lado izquierdo de la ecuación por esta expresión término por término. Obtenemos:
Reduzcamos el numerador y denominador de la segunda y tercera fracción:
Introduzcamos el reemplazo:
Además título="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}
obtenemos ecuación cuadrática:
Resolvamos la ecuación cuadrática, encontramos los valores que satisfacen la condición title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}
Mira el VIDEO TUTORIAL solución detallada ecuación homogénea:
5. Ecuación de la forma
Al resolver esta ecuación, partiremos del hecho de que title="f(x)>0">!}
La igualdad inicial se cumple en dos casos:
1. Si, dado que 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1,
2. Si se cumplen dos condiciones:
Título="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}
Mire el VIDEO TUTORIAL para obtener una solución detallada de la ecuación
En la etapa de preparación para el examen final, los estudiantes de secundaria deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años indica que estas tareas plantean ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben dominar a fondo la teoría, recordar las fórmulas y comprender el principio de resolución de dichas ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los graduados pueden contar con puntuaciones altas al aprobar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
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Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Antecedentes teóricos".
Para comprender mejor el material, le recomendamos que practique completando las tareas. Revise detenidamente los ejemplos de ecuaciones exponenciales con soluciones presentados en esta página para comprender el algoritmo de cálculo. Posteriormente, proceda a realizar tareas en la sección “Directorios”. Puedes comenzar con los problemas más fáciles o pasar directamente a resolver ecuaciones exponenciales complejas con varias incógnitas o . La base de datos de ejercicios de nuestro sitio web se complementa y actualiza constantemente.
Aquellos ejemplos con indicadores que le causaron dificultades se pueden agregar a "Favoritos". De esta manera podrás encontrarlos rápidamente y discutir la solución con tu profesor.
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Conferencia: “Métodos para la resolución de ecuaciones exponenciales”.
1 . Ecuaciones exponenciales.
Las ecuaciones que contienen incógnitas en exponentes se llaman ecuaciones exponenciales. La más simple de ellas es la ecuación ax = b, donde a > 0, a ≠ 1.
1) en segundo< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Para b > 0, utilizando la monotonicidad de la función y el teorema de la raíz, la ecuación tiene una raíz única. Para encontrarlo, b debe representarse en la forma b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.
Las ecuaciones exponenciales mediante transformaciones algebraicas conducen a ecuaciones estándar, que se resuelven mediante los siguientes métodos:
1) método de reducción a una base;
2) método de evaluación;
3) método gráfico;
4) método de introducción de nuevas variables;
5) método de factorización;
6) exponencial – ecuaciones de potencia;
7) demostrativo con un parámetro.
2 . Método de reducción a una base.
El método se basa en siguiente propiedad grados: si dos grados son iguales y sus bases son iguales, entonces sus exponentes son iguales, es decir, debemos intentar reducir la ecuación a la forma
Ejemplos. Resuelve la ecuación:
1 . 3x = 81;
Representemos el lado derecho de la ecuación en la forma 81 = 34 y escribamos la ecuación equivalente a la original 3 x = 34; x = 4. Respuesta: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">y pasemos a la ecuación para exponentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Respuesta: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" ancho="105" alto="47">
Observa que los números 0.2, 0.04, √5 y 25 representan potencias de 5. Aprovechemos esto y transformemos la ecuación original de la siguiente manera:
,
de donde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, de donde encontramos la solución x = -1. Respuesta: -1.
5. 3x = 5. Por definición de logaritmo, x = log35. Respuesta: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Reescribamos la ecuación en la forma 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, es decir,png" width="181" height="49 src="> Por lo tanto x – 4 =0, x = 4. Respuesta: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando las propiedades de las potencias, escribimos la ecuación en la forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 entonces 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, es decir, x+1 = 2, x =1. Respuesta: 1.
Banco problemático número 1.
Resuelve la ecuación:
Prueba número 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) sin raíces |
1) 7;1 2) sin raíces 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Prueba número 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) sin raíces 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Método de evaluación.
Teorema de la raíz: si la función f(x) aumenta (disminuye) en el intervalo I, el número a es cualquier valor tomado por f en este intervalo, entonces la ecuación f(x) = a tiene una raíz única en el intervalo I.
Al resolver ecuaciones utilizando el método de estimación, se utilizan este teorema y las propiedades de monotonicidad de la función.
Ejemplos. Resolver ecuaciones: 1. 4x = 5-x.
Solución. Reescribamos la ecuación como 4x +x = 5.
1. Si x = 1, entonces 41+1 = 5, 5 = 5 es verdadero, lo que significa que 1 es la raíz de la ecuación.
Función f(x) = 4x – aumenta en R, y g(x) = x – aumenta en R => h(x)= f(x)+g(x) aumenta en R, como suma de funciones crecientes, entonces x = 1 es la única raíz de la ecuación 4x = 5 – x. Respuesta: 1.
2.
Solución. Reescribamos la ecuación en la forma 
.
1. si x = -1, entonces 
, 3 = 3 es verdadero, lo que significa que x = -1 es la raíz de la ecuación.
2. demostrar que es el único.
3. Función f(x) = - disminuye en R, y g(x) = - x – disminuye en R=> h(x) = f(x)+g(x) – disminuye en R, como la suma de funciones decrecientes. Esto significa que, según el teorema de la raíz, x = -1 es la única raíz de la ecuación. Respuesta: -1.
Banco problemático número 2. Resuelve la ecuación
a) 4x + 1 =6 –x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Método de introducción de nuevas variables.
El método se describe en el párrafo 2.1. La introducción de una nueva variable (sustitución) suele realizarse tras transformaciones (simplificación) de los términos de la ecuación. Veamos ejemplos.
Ejemplos.
R Resuelve la ecuación: 1.
.
Reescribamos la ecuación de otra manera: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Solución. Reescribamos la ecuación de manera diferente: 
Designemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - no adecuado.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ecuación irracional. Observamos que 
La solución de la ecuación es x = 2,5 ≤ 4, lo que significa que 2,5 es la raíz de la ecuación. Respuesta: 2.5.
Solución. Reescribamos la ecuación en la forma y dividamos ambos lados por 56x+6 ≠ 0. Obtenemos la ecuación
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" ancho="118" alto="56">
Las raíces de la ecuación cuadrática son t1 = 1 y t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Solución . Reescribamos la ecuación en la forma
y observe que es una ecuación homogénea de segundo grado.
Dividimos la ecuación por 42x y obtenemos 
Reemplacemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Respuesta: 0; 0,5.
Banco problemático número 3. Resuelve la ecuación
b) 
GRAMO) 
Prueba número 3 con una selección de respuestas. Nivel mínimo.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) sin raíces 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) sin raíces 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Prueba número 4 con una selección de respuestas. Nivel general.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) sin raíces |
5. Método de factorización.
1. Resuelve la ecuación: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solución..png" width="169" height="69"> , desde donde
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Solución. Pongamos 6x entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación y 2x en el lado derecho. Obtenemos la ecuación 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Como 2x >0 para todo x, podemos dividir ambos lados de esta ecuación por 2x sin temor a perder soluciones. Obtenemos 3x = 1ó x = 0.
3. 
Solución. Resolvamos la ecuación usando el método de factorización.
Seleccionemos el cuadrado del binomio. 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" ancho="500" alto="181">
x = -2 es la raíz de la ecuación.
Ecuación x + 1 = 0 " estilo="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Prueba número 6 Nivel general.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponencial – ecuaciones de potencia.
Adyacentes a las ecuaciones exponenciales están las llamadas ecuaciones de potencia exponencial, es decir, ecuaciones de la forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Si se sabe que f(x)>0 y f(x) ≠ 1, entonces la ecuación, al igual que la exponencial, se resuelve igualando los exponentes g(x) = f(x).
Si la condición no excluye la posibilidad de que f(x)=0 y f(x)=1, entonces debemos considerar estos casos al resolver una ecuación exponencial.
1..png" ancho="182" alto="116 src=">
2. 
Solución. x2 +2x-8 – tiene sentido para cualquier x, porque es un polinomio, lo que significa que la ecuación es equivalente a la totalidad
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" ancho="137" alto="35">
b) 
7. Ecuaciones exponenciales con parámetros.
1. ¿Para qué valores del parámetro p tiene la ecuación 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) la única solución?
Solución. Introduzcamos el reemplazo 2x = t, t > 0, entonces la ecuación (1) tomará la forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Discriminante de la ecuación (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
La ecuación (1) tiene una solución única si la ecuación (2) tiene una raíz positiva. Esto es posible en los siguientes casos.
1. Si D = 0, es decir, p = 1, entonces la ecuación (2) tomará la forma t2 – 2t + 1 = 0, por lo tanto t = 1, por lo tanto, la ecuación (1) tiene una solución única x = 0.
2. Si p1, entonces 9(p – 1)2 > 0, entonces la ecuación (2) tiene dos raíces diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Las condiciones del problema se satisfacen mediante un conjunto de sistemas
Sustituyendo t1 y t2 en los sistemas, tenemos
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Solución. Dejar 
entonces la ecuación (3) tomará la forma t2 – 6t – a = 0. (4)
Encontremos los valores del parámetro a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (4) satisface la condición t > 0.
Introduzcamos la función f(t) = t2 – 6t – a. Son posibles los siguientes casos.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Caso 2. La ecuación (4) tiene una solución positiva única si
D = 0, si a = – 9, entonces la ecuación (4) tomará la forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Caso 3. La ecuación (4) tiene dos raíces, pero una de ellas no satisface la desigualdad t > 0. Esto es posible si
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Por lo tanto, para a 0, la ecuación (4) tiene una única raíz positiva 
. Entonces la ecuación (3) tiene una solución única 
cuando un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, entonces x = – 1;
si a 0, entonces
Comparemos los métodos para resolver las ecuaciones (1) y (3). Tenga en cuenta que al resolver la ecuación (1) se redujo a una ecuación cuadrática, cuyo discriminante es un cuadrado perfecto; Por lo tanto, las raíces de la ecuación (2) se calcularon inmediatamente utilizando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y luego se sacaron conclusiones con respecto a estas raíces. La ecuación (3) se ha reducido a una ecuación cuadrática (4), cuyo discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo tanto, al resolver la ecuación (3), es recomendable utilizar teoremas sobre la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático. y un modelo gráfico. Tenga en cuenta que la ecuación (4) se puede resolver utilizando el teorema de Vieta.
Resolvamos ecuaciones más complejas.
Problema 3: Resuelve la ecuación 
Solución. ODZ: x1, x2.
Introduzcamos un reemplazo. Sea 2x = t, t > 0, entonces como resultado de las transformaciones la ecuación tomará la forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Encontremos los valores de a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (*) satisface la condición t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Respuesta: si a > – 13, a 11, a 5, entonces si a – 13,
a = 11, a = 5, entonces no hay raíces.
Lista de literatura usada.
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14. y otros. Álgebra y los inicios del análisis. Materiales didácticos Para
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M. “Primero de Septiembre”, 2002
16. Cherkásov. Manual para estudiantes de secundaria y
ingresar a las universidades. “A S T - escuela de prensa”, 2002
17. Zhevnyak para quienes ingresan a las universidades.
“Revisión” de Minsk y la Federación de Rusia, 1996
18. Escrito D. Nos estamos preparando para el examen de matemáticas. M. Rolf, 1999
19. etc. Aprender a resolver ecuaciones y desigualdades.
M. "Intelecto - Centro", 2003
20. etc. Materiales educativos y formativos para la preparación del USE.
M. "Inteligencia - Centro", 2003 y 2004.
21 y otras opciones de CMM. Centro de pruebas del Ministerio de Defensa de la Federación de Rusia, 2002, 2003.
22. Ecuaciones de Goldberg. "Cuántico" nº 3, 1971
23. Volovich M. Cómo enseñar matemáticas con éxito.
Matemáticas, 1997 No. 3.
24 ¡Okunev para la lección, niños! M. Educación, 1988
25. Yakimanskaya: aprendizaje orientado en la escuela.
26. Los límites trabajan en clase. M. Conocimiento, 1975
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Primero, recordemos las fórmulas básicas de las potencias y sus propiedades.
producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n
1. un 0 = 1 (un ≠ 0)
3. una norte una metro = una norte + metro
4. (un) m = un nm
5. a n b n = (ab) n
7. un norte / un metro = un norte - metro
Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.
Ejemplos de ecuaciones exponenciales:
En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está abajo y la variable; incógnita grado o indicador.
Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2 x *5=10
16x - 4x - 6=0
Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.
Tomemos una ecuación simple:
2 x = 2 3
Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:
2 x = 2 3
x = 3
Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.
Ahora resumamos nuestra decisión.
Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar idéntico si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos, buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.
Ahora veamos algunos ejemplos:
Comencemos con algo simple.
Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus potencias.
x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 – 2
x=2
Respuesta:x=2
En el siguiente ejemplo puedes ver que las bases son diferentes: 3 y 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:
Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.
3 3x = (3 2)x+8
Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Ahora está claro que en los lados izquierdo y derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.
3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.
Veamos el siguiente ejemplo:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2 x
Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Suma a la ecuación:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Calculemos la expresión entre paréntesis:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Dividimos toda la ecuación por 6:
Imaginemos 4=2 2:
2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.
Resolvamos la ecuación:
9x – 12*3x +27= 0
Convirtamos:
9x = (3 2)x = 3 2x
Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Nuestras bases son iguales, iguales a tres. En este ejemplo, puedes ver que las tres primeras tienen un grado dos veces (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:
Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:
t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Volviendo a la variable incógnita.
Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x
Por lo tanto,
3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2
Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.
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