EntradaCómo resolver ecuaciones con fracciones y potencias. Ecuaciones exponenciales. Cómo resolver ecuaciones exponenciales
En la etapa de preparación para el examen final, los estudiantes de secundaria deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años indica que estas tareas plantean ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben dominar a fondo la teoría, recordar las fórmulas y comprender el principio de resolución de dichas ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los graduados pueden contar con puntuaciones altas al aprobar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
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Al revisar los materiales que han cubierto, muchos estudiantes se enfrentan al problema de encontrar las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones. libro de texto escolar no siempre está disponible y seleccionar la información necesaria sobre un tema en Internet lleva mucho tiempo.
El portal educativo Shkolkovo invita a los estudiantes a utilizar nuestra base de conocimientos. Implementamos completamente nuevo método preparación para la prueba final. Al estudiar en nuestro sitio web, podrá identificar lagunas de conocimiento y prestar atención a aquellas tareas que causan mayor dificultad.
Los profesores de Shkolkovo recopilaron, sistematizaron y presentaron todo lo necesario para finalización exitosa Material del examen estatal unificado de la forma más sencilla y accesible.
Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Antecedentes teóricos".
Para comprender mejor el material, le recomendamos que practique completando las tareas. Revise detenidamente los ejemplos de ecuaciones exponenciales con soluciones presentados en esta página para comprender el algoritmo de cálculo. Posteriormente, proceda a realizar tareas en la sección “Directorios”. Puedes comenzar con las tareas más sencillas o pasar directamente a resolver ecuaciones exponenciales complejas con varias incógnitas o . La base de datos de ejercicios de nuestro sitio web se complementa y actualiza constantemente.
Aquellos ejemplos con indicadores que le causaron dificultades se pueden agregar a "Favoritos". De esta manera podrás encontrarlos rápidamente y discutir la solución con tu profesor.
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Esta lección está destinada a aquellos que recién están comenzando a aprender. ecuaciones exponenciales. Como siempre, comencemos con la definición y ejemplos sencillos.
Si estás leyendo esta lección, sospecho que ya tienes al menos un conocimiento mínimo de las ecuaciones más simples: lineales y cuadráticas: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Ser capaz de resolver este tipo de construcciones es absolutamente necesario para no “quedarse estancado” en el tema que ahora se tratará.
Entonces, ecuaciones exponenciales. Déjame darte un par de ejemplos:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Algunos de ellos pueden parecerle más complejos, mientras que otros, por el contrario, son demasiado simples. Pero todos tienen una cosa en común. señal importante: su notación contiene la función exponencial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Así, introduzcamos la definición:
Una ecuación exponencial es cualquier ecuación que contenga una función exponencial, es decir expresión de la forma $((a)^(x))$. Además de la función indicada, dichas ecuaciones pueden contener cualquier otra construcción algebraica: polinomios, raíces, trigonometría, logaritmos, etc.
Bien entonces. Hemos resuelto la definición. Ahora la pregunta es: ¿cómo solucionar toda esta basura? La respuesta es a la vez simple y compleja.
Comencemos con las buenas noticias: por mi experiencia enseñando a muchos estudiantes, puedo decir que la mayoría de ellos encuentran las ecuaciones exponenciales mucho más fácilmente que los mismos logaritmos, y más aún la trigonometría.
Pero hay malas noticias: a veces los compiladores de problemas para todo tipo de libros de texto y exámenes se sienten "inspirados" y su cerebro inflamado por las drogas comienza a producir ecuaciones tan brutales que resolverlas se vuelve problemático no solo para los estudiantes, sino también para muchos profesores. quedarse estancado en tales problemas.
Sin embargo, no hablemos de cosas tristes. Y volvamos a esas tres ecuaciones que se dieron al principio de la historia. Intentemos resolver cada uno de ellos.
Primera ecuación: $((2)^(x))=4$. Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar el número 2 para obtener el número 4? ¿Probablemente el segundo? Después de todo, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - y obtuvimos la igualdad numérica correcta, es decir de hecho $x=2$. Bueno, gracias Cap, pero esta ecuación era tan simple que hasta mi gato podría resolverla :)
Veamos la siguiente ecuación:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Pero aquí es un poco más complicado. Muchos estudiantes saben que $((5)^(2))=25$ es la tabla de multiplicar. Algunos también sospechan que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ es esencialmente la definición de potencias negativas (similar a la fórmula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Finalmente, sólo unos pocos se dan cuenta de que estos hechos se pueden combinar y producir el siguiente resultado:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Por lo tanto, nuestra ecuación original se reescribirá de la siguiente manera:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
¡Pero esto ya se puede solucionar por completo! A la izquierda de la ecuación hay una función exponencial, a la derecha de la ecuación hay una función exponencial, no hay nada más en ningún lado excepto ellos. Por tanto, podemos “descartar” las bases y equiparar estúpidamente los indicadores:
Hemos obtenido la ecuación lineal más sencilla que cualquier estudiante puede resolver en tan solo un par de líneas. Bien, en cuatro líneas:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Si no comprende lo que sucedió en las últimas cuatro líneas, asegúrese de volver al tema "ecuaciones lineales" y repetirlo. Porque sin una comprensión clara de este tema, es demasiado pronto para abordar ecuaciones exponenciales.
\[((9)^(x))=-3\]
Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? Primer pensamiento: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Luego recordamos que al elevar una potencia a una potencia los exponentes se multiplican:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Y por tal decisión recibiremos dos honestamente merecidos. Porque, con la ecuanimidad de un Pokémon, enviamos el signo menos delante del tres a la potencia de este mismo tres. Pero no puedes hacer eso. Y he aquí por qué. Echa un vistazo a diferentes grados trillizos:
\[\begin(matriz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriz)\]
Al compilar esta tablilla, no pervertí nada: miré las potencias positivas, negativas e incluso fraccionarias... bueno, ¿dónde está aquí al menos un número negativo? ¡Se ha ido! Y no puede ser, porque la función exponencial $y=((a)^(x))$, en primer lugar, siempre toma solo valores positivos (no importa cuánto se multiplique o divida uno por dos, seguirá siendo un número positivo), y en segundo lugar, la base de dicha función, el número $a$, ¡es por definición un número positivo!
Bueno, ¿cómo entonces resolver la ecuación $((9)^(x))=-3$? Pero ni modo: no hay raíces. Y en este sentido, las ecuaciones exponenciales son muy similares a las ecuaciones cuadráticas: es posible que tampoco tengan raíces. Pero si en ecuaciones cuadráticas el número de raíces está determinado por el discriminante (discriminante positivo - 2 raíces, negativo - sin raíces), entonces en ecuaciones exponenciales todo depende de lo que está a la derecha del signo igual.
Por lo tanto, formulemos la conclusión clave: la ecuación exponencial más simple de la forma $((a)^(x))=b$ tiene una raíz si y solo si $b>0$. Conociendo este simple hecho, podrás determinar fácilmente si la ecuación que te proponen tiene raíces o no. Aquellos. ¿Vale la pena solucionarlo o anotar inmediatamente que no hay raíces?
Este conocimiento nos ayudará muchas veces cuando tengamos que resolver problemas más complejos. Por ahora, basta de letras: es hora de estudiar el algoritmo básico para resolver ecuaciones exponenciales.
Cómo resolver ecuaciones exponenciales
Entonces, formulemos el problema. Es necesario resolver la ecuación exponencial:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Según el algoritmo “ingenuo” que usamos anteriormente, es necesario representar el número $b$ como una potencia del número $a$:
Además, si en lugar de la variable $x$ hay alguna expresión, obtendremos una nueva ecuación que ya se puede resolver. Por ejemplo:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(alinear)\]
Y, aunque parezca extraño, este esquema funciona en aproximadamente el 90% de los casos. ¿Qué pasa entonces con el 10% restante? El 10% restante son ecuaciones exponenciales ligeramente “esquizofrénicas” de la forma:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar 2 para obtener 3? ¿Primero? Pero no: $((2)^(1))=2$ no es suficiente. ¿Segundo? Tampoco: $((2)^(2))=4$ es demasiado. ¿Cuál entonces?
Los estudiantes conocedores probablemente ya lo hayan adivinado: en tales casos, cuando no es posible resolver "bellamente", entra en juego la "artillería pesada": los logaritmos. Permítanme recordarles que usando logaritmos, cualquier número positivo se puede representar como una potencia de cualquier otro número positivo (excepto uno):
¿Recuerdas esta fórmula? Cuando les hablo a mis alumnos sobre logaritmos, siempre les advierto: esta fórmula (también es la identidad logarítmica principal o, si se prefiere, la definición de logaritmo) los perseguirá durante mucho tiempo y "aparecerá" en la mayoría de los casos. Lugares inesperados. Bueno, ella salió a la superficie. Veamos nuestra ecuación y esta fórmula:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Si asumimos que $a=3$ es nuestro número original a la derecha, y $b=2$ es la base misma de la función exponencial a la que queremos reducir el lado derecho, obtenemos lo siguiente:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(alinear)\]
Recibimos una respuesta un poco extraña: $x=((\log )_(2))3$. En alguna otra tarea, muchos tendrían dudas con tal respuesta y comenzarían a verificar su solución: ¿y si se hubiera colado un error en alguna parte? Me apresuro a complacerte: aquí no hay ningún error y los logaritmos en las raíces de ecuaciones exponenciales son bastante situación típica. Así que acostúmbrate.
Ahora resolvamos las dos ecuaciones restantes por analogía:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Flecha derecha x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(alinear)\]
¡Eso es todo! Por cierto, la última respuesta se puede escribir de otra manera:
Introdujimos un multiplicador al argumento del logaritmo. Pero nadie nos impide añadir este factor a la base:
Además, las tres opciones son correctas: son simplemente formas diferentes de escribir el mismo número. Tú decides cuál elegir y anotar en esta solución.
Por lo tanto, hemos aprendido a resolver cualquier ecuación exponencial de la forma $((a)^(x))=b$, donde los números $a$ y $b$ son estrictamente positivos. Sin embargo, la dura realidad de nuestro mundo es que tales tareas simples Te encontrarás muy, muy raramente. La mayoría de las veces te encontrarás con algo como esto:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]
Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? ¿Se puede solucionar esto? Y si es así, ¿cómo?
No entrar en pánico. Todas estas ecuaciones se reducen rápida y fácilmente a fórmulas simples que ya hemos considerado. Solo necesitas recordar un par de trucos del curso de álgebra. Y, por supuesto, no existen reglas para trabajar con títulos. Te contaré todo esto ahora :)
Convertir ecuaciones exponenciales
Lo primero que hay que recordar: cualquier ecuación exponencial, por compleja que sea, de una forma u otra debe reducirse a las ecuaciones más simples, aquellas que ya hemos considerado y que sabemos resolver. En otras palabras, el esquema para resolver cualquier ecuación exponencial se ve así:
- Escribe la ecuación original. Por ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Haz algunas cosas raras. O incluso alguna tontería llamada "convertir una ecuación";
- En la salida, obtenga las expresiones más simples de la forma $((4)^(x))=4$ o algo así. Además, una ecuación inicial puede dar varias expresiones de este tipo a la vez.
Con el primer punto todo está claro: hasta mi gato puede escribir la ecuación en una hoja de papel. El tercer punto también parece más o menos claro: ya hemos resuelto un montón de ecuaciones de este tipo anteriormente.
Pero ¿qué pasa con el segundo punto? ¿Qué tipo de transformaciones? ¿Convertir qué en qué? ¿Y cómo?
Bueno, averigüémoslo. En primer lugar, quisiera señalar lo siguiente. Todas las ecuaciones exponenciales se dividen en dos tipos:
- La ecuación se compone de funciones exponenciales con la misma base. Ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- La fórmula contiene funciones exponenciales con diferentes bases. Ejemplos: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ y $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
Comencemos con las ecuaciones del primer tipo: son las más fáciles de resolver. Y para resolverlos, nos ayudará una técnica como resaltar expresiones estables.
Aislar una expresión estable
Veamos esta ecuación nuevamente:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
¿Qué vemos? Los cuatro se elevan en diferentes grados. Pero todas estas potencias son sumas simples de la variable $x$ con otros números. Por tanto, es necesario recordar las reglas para trabajar con títulos:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(alinear)\]
En pocas palabras, la suma se puede convertir en un producto de potencias y la resta se puede convertir fácilmente en división. Intentemos aplicar estas fórmulas a los grados de nuestra ecuación:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(alinear)\]
Reescribamos la ecuación original teniendo en cuenta este hecho y luego recopilemos todos los términos de la izquierda:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(alinear)\]
Los primeros cuatro términos contienen el elemento $((4)^(x))$; saquémoslo del paréntesis:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(alinear)\]
Queda por dividir ambos lados de la ecuación por la fracción $-\frac(11)(4)$, es decir esencialmente multiplica por la fracción invertida - $-\frac(4)(11)$. Obtenemos:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(alinear)\]
¡Eso es todo! Hemos reducido la ecuación original a su forma más simple y obtuvimos la respuesta final.
Al mismo tiempo, en el proceso de resolución descubrimos (e incluso lo sacamos del paréntesis) el factor común $((4)^(x))$; esta es una expresión estable. Puede designarse como una nueva variable o simplemente expresarla con cuidado y obtener la respuesta. En cualquier caso, el principio clave de la solución es el siguiente:
Encuentre en la ecuación original una expresión estable que contenga una variable que se distinga fácilmente de todas las funciones exponenciales.
La buena noticia es que casi todas las ecuaciones exponenciales permiten aislar una expresión tan estable.
Pero la mala noticia es que estas expresiones pueden ser bastante engañosas y bastante difíciles de identificar. Así que veamos un problema más:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Quizás alguien tenga ahora una pregunta: “Pasha, ¿estás drogado? Aquí hay diferentes bases: 5 y 0,2”. Pero intentemos convertir la potencia a base 0,2. Por ejemplo, eliminemos la fracción decimal reduciéndola a una fracción normal:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Como puedes ver, el número 5 todavía aparecía, aunque en el denominador. Al mismo tiempo, el indicador se reescribió como negativo. Y ahora recordemos uno de las reglas más importantes trabajar con grados:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Aquí, por supuesto, estaba un poco mentido. Porque para una comprensión completa, la fórmula para deshacerse de los indicadores negativos tenía que escribirse así:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ derecha))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Por otro lado, nada nos impedía trabajar sólo con fracciones:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Pero en este caso, es necesario poder elevar una potencia a otra potencia (permítanme recordarles: en este caso, los indicadores se suman). Pero no tuve que "invertir" las fracciones; quizás esto sea más fácil para algunos :)
En cualquier caso, la ecuación exponencial original se reescribirá como:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(alinear)\]
Entonces resulta que la ecuación original se puede resolver de manera aún más simple que la considerada anteriormente: aquí ni siquiera es necesario seleccionar una expresión estable: todo se ha reducido por sí solo. Sólo queda recordar que $1=((5)^(0))$, de donde obtenemos:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(alinear)\]
¡Esa es la solución! Obtuvimos la respuesta final: $x=-2$. Al mismo tiempo, me gustaría señalar una técnica que nos simplificó enormemente todos los cálculos:
En ecuaciones exponenciales, asegúrese de deshacerse de decimales, conviértalos en normales. Esto le permitirá ver las mismas bases de grados y simplificar enormemente la solución.
Pasemos ahora a ecuaciones más complejas en las que hay diferentes bases que no se pueden reducir entre sí mediante potencias.
Usando la propiedad de grados
Permítanme recordarles que tenemos dos ecuaciones más particularmente duras:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]
La principal dificultad aquí es que no está claro qué donar ni sobre qué base. ¿Dónde están las expresiones estables? ¿Dónde están los mismos motivos? No hay nada de esto.
Pero intentemos ir por un camino diferente. Si no hay bases idénticas ya preparadas, puede intentar encontrarlas factorizando las bases existentes.
Comencemos con la primera ecuación:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(alinear)\]
Pero puedes hacer lo contrario: hacer el número 21 a partir de los números 7 y 3. Esto es especialmente fácil de hacer en el lado izquierdo, ya que los indicadores de ambos grados son los mismos:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\&2x=6; \\&x=3. \\\end(alinear)\]
¡Eso es todo! Sacaste el exponente fuera del producto e inmediatamente obtuviste una hermosa ecuación que se puede resolver en un par de líneas.
Ahora veamos la segunda ecuación. Aquí todo es mucho más complicado:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
En este caso, las fracciones resultaron irreducibles, pero si algo se puede reducir, asegúrese de reducirlo. A menudo aparecerán motivos interesantes con los que ya podrás trabajar.
Desafortunadamente, no nos apareció nada especial. Pero vemos que los exponentes de la izquierda del producto son opuestos:
Permítanme recordarles: para deshacerse del signo menos en el indicador, basta con "voltear" la fracción. Bueno, reescribamos la ecuación original:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(alinear)\]
En la segunda línea simplemente realizamos indicador general del producto fuera de paréntesis según la regla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, y en este último simplemente multiplicó el número 100 por una fracción.
Ahora observe que los números de la izquierda (en la base) y de la derecha son algo similares. ¿Cómo? Sí, es obvio: ¡son potencias del mismo número! Tenemos:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \derecha))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \derecha))^(2)). \\\end(alinear)\]
Por tanto, nuestra ecuación quedará reescrita de la siguiente manera:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\derecha))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
En este caso, a la derecha también se puede obtener un grado con la misma base, para lo cual basta con “darle la vuelta” a la fracción:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Nuestra ecuación finalmente tomará la forma:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\&3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]
Esa es la solución. Su idea principal se reduce al hecho de que incluso con diferentes bases x estamos intentando, por las buenas o por las malas, reducir estas bases a lo mismo. Las transformaciones elementales de ecuaciones y las reglas para trabajar con potencias nos ayudan con esto.
¿Pero qué reglas y cuándo usarlas? ¿Cómo entiendes que en una ecuación necesitas dividir ambos lados entre algo, y en otra necesitas factorizar la base de la función exponencial?
La respuesta a esta pregunta vendrá con la experiencia. Prueba tu suerte al principio ecuaciones simples, y luego complique gradualmente las tareas, y muy pronto sus habilidades serán suficientes para resolver cualquier ecuación exponencial del mismo Examen Estatal Unificado o cualquier trabajo de prueba/independiente.
Y para ayudarte en esta difícil tarea, te sugiero descargar un conjunto de ecuaciones de mi sitio web para resolverlas tú mismo. Todas las ecuaciones tienen respuestas, por lo que siempre puedes ponerte a prueba.
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Ecuaciones exponenciales. Guía completa (2019)
¡Hola! Hoy discutiremos contigo cómo resolver ecuaciones que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas lo sean para ti), como las que se suelen dar “para rellenar”. Al parecer para finalmente quedarse dormido. Pero intentaré hacer todo lo posible para que ahora no te metas en problemas ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré con rodeos, pero lo abriré enseguida. pequeño secreto: hoy estudiaremos ecuaciones exponenciales.
Antes de pasar a analizar las formas de resolverlas, les describiré inmediatamente una serie de preguntas (bastante pequeñas) que deberían repetir antes de lanzarse a atacar este tema. Entonces, para conseguir mejor resultado, Por favor, repetir:
- Propiedades y
- Solución y ecuaciones
¿Repetido? ¡Asombroso! Entonces no te resultará difícil darte cuenta de que la raíz de la ecuación es un número. ¿Entiendes exactamente cómo lo hice? ¿Es verdad? Entonces continuemos. Ahora responde mi pregunta, ¿qué es igual a la tercera potencia? Tienes toda la razón: . ¿Qué potencia de dos es ocho? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: déjame multiplicar el número por sí mismo una vez y obtener el resultado. La pregunta es ¿cuántas veces me multipliqué? Por supuesto, puedes comprobar esto directamente:
\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinear)
Entonces puedes concluir que me multipliqué por mí mismo veces. ¿De qué otra manera puedes comprobar esto? He aquí cómo: directamente por definición de título: . Pero debes admitir que si te preguntara cuántas veces hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener, digamos, me dirías: no me engañaré multiplicando por sí mismo hasta que me ponga azul. Y tendría toda la razón. Porque ¿cómo puedes anota todos los pasos brevemente(y la brevedad es hermana del talento)
donde - estos son los mismos "veces", cuando se multiplica por sí mismo.
Creo que sabes (y si no lo sabes, ¡urgentemente, muy urgentemente repite los grados!) que entonces mi problema quedará escrito en la forma:
¿Cómo se puede concluir razonablemente que:
Entonces, sin que nadie me diera cuenta, escribí lo más simple. ecuación exponencial:
Y hasta lo encontré raíz. ¿No crees que todo es completamente trivial? Pienso exactamente lo mismo. Aquí tienes otro ejemplo:
¿Pero qué hacer? Después de todo, no se puede escribir como una potencia de un número (razonable). No nos desesperemos y tengamos en cuenta que ambos números se expresan perfectamente mediante la potencia del mismo número. ¿Cuál? Bien: . Luego la ecuación original se transforma a la forma:
Donde, como ya entendiste, . No nos demoremos más y anótelo. definición:
En nuestro caso: .
Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:
seguido de resolver la ecuación
De hecho, hicimos esto en el ejemplo anterior: obtuvimos lo siguiente: Y resolvimos la ecuación más simple.
Parece nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con los más simples. ejemplos:
Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como potencias de un número. Es cierto que esto ya se ha hecho a la izquierda, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, porque mi ecuación milagrosamente se transformará en esto:
¿Qué tuve que usar aquí? ¿Qué regla? Regla de "grados dentro de grados" que dice:
Y si:
Antes de responder a esta pregunta, completemos la siguiente tabla:
Es fácil para nosotros notar que cuanto menos, más menos valor, sin embargo, todos estos valores son mayores que cero. ¡¡¡Y SIEMPRE SERÁ ASÍ!!! ¡¡La misma propiedad es válida PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER INDICADOR!! (para cualquiera y). Entonces, ¿qué podemos concluir sobre la ecuación? Esto es lo que es: no tiene raíces! Como cualquier ecuación no tiene raíces. Ahora practiquemos y Resolvamos ejemplos simples:
Comprobemos:
1. Aquí no se le exigirá nada más que el conocimiento de las propiedades de los grados (¡que, por cierto, le pedí que repitiera!). Como regla general, todo conduce a la base más pequeña: , . Entonces la ecuación original será equivalente a la siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: Al multiplicar números con las mismas bases se suman las potencias y al dividir se restan. Entonces obtendré: Bueno, ahora con la conciencia tranquila pasaré de la ecuación exponencial a la lineal: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinear)
2. En el segundo ejemplo, debemos tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo no podemos representar el mismo número como una potencia. En este caso a veces es útil representar números como producto de potencias con diferentes bases, pero los mismos exponentes:
El lado izquierdo de la ecuación se verá así: ¿Qué nos dio esto? Esto es lo que: Se pueden multiplicar números con diferentes bases pero con los mismos exponentes.En este caso, las bases se multiplican, pero el indicador no cambia:
En mi situación esto dará:
\begin(alinear)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinear)
No está mal, ¿verdad?
3. No me gusta cuando, innecesariamente, tengo dos términos en un lado de la ecuación y ninguno en el otro (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero ahora no es el caso). Moveré el término negativo hacia la derecha:
Ahora, como antes, escribiré todo en términos de potencias de tres:
Sumo los grados de la izquierda y obtengo una ecuación equivalente.
Puedes encontrar fácilmente su raíz:
4. Como en el ejemplo tres, ¡el término negativo tiene un lugar en el lado derecho!
A mi izquierda casi todo está bien, ¿excepto qué? Sí, me molesta el “grado equivocado” de los dos. Pero puedo solucionar este problema fácilmente escribiendo: . Eureka: a la izquierda todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Multipliquemos inmediatamente!
Aquí nuevamente todo está claro: (si no entiendes cómo obtuve mágicamente la última igualdad, tómate un descanso por un minuto, respira y vuelve a leer con mucha atención las propiedades del título. ¿Quién dijo que puedes saltarte un grado con exponente negativo? Bueno, aquí estoy casi lo mismo que nadie). Ahora obtendré:
\begin(alinear)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(alinear)
Aquí tienes algunos problemas para que practiques, a los que sólo daré las respuestas (pero de forma “mixta”). ¡Resuélvelos, compruébalos y tú y yo continuaremos nuestra investigación!
¿Listo? Respuestas como esto:
- cualquier numero
Vale, vale, ¡estaba bromeando! A continuación se muestran algunos bocetos de soluciones (¡algunas muy breves!)
¿No crees que no es casualidad que una fracción de la izquierda sea la otra "invertida"? Sería pecado no aprovechar esto:
Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdala bien!
Entonces la ecuación original quedará así:
Al resolver esta ecuación cuadrática, obtendrás las siguientes raíces:
2. Otra solución: dividir ambos lados de la ecuación por la expresión de la izquierda (o derecha). Divido por lo que está a la derecha y obtengo:
¿Dónde (¡¿por qué?!)
3. No quiero ni repetirme, ya está todo muy “masticado”.
4. equivalente a una ecuación cuadrática, raíces
5. Debes usar la fórmula dada en el primer problema y luego obtendrás lo siguiente:
La ecuación se ha convertido en una identidad trivial que es cierta para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.
Bueno, ahora has practicado resolviendo ecuaciones exponenciales simples. Ahora quiero darles algunos ejemplos de la vida real que le ayudarán a comprender por qué son necesarios en principio. Aquí daré dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero es más probable que el otro tenga un interés científico más que práctico.
Ejemplo 1 (mercantil) Deja que tengas rublos, pero quieres convertirlos en rublos. El banco le ofrece retirarle este dinero a una tasa anual con capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesitas abrir un depósito para alcanzar el monto final requerido? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está asociada a la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea - la cantidad inicial, - la cantidad final, - tasa de interés por período, - el número de períodos. Entonces:
En nuestro caso (si la tasa es anual, entonces se calcula por mes). ¿Por qué se divide entre? Si no sabes la respuesta a esta pregunta, ¡recuerda el tema “”! Entonces obtenemos esta ecuación:
Esta ecuación exponencial sólo se puede resolver usando una calculadora (su apariencia( no muy rápido, ¿verdad?).
Ejemplo 2 (bastante científico). A pesar de su cierto “aislamiento”, les recomiendo que le presten atención: regularmente “¡¡se presenta al Examen Estatal Unificado!! (el problema está tomado de la versión “real”) Durante la desintegración de un isótopo radiactivo, su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde la momento inicial, (min.) es la vida media. En el momento inicial, la masa del isótopo es mg. Su vida media es min. ¿Después de cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que se nos propone:
Dividamos ambas partes entre "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:
Bueno, ¡tenemos mucha suerte! Está a la izquierda, entonces pasemos a la ecuación equivalente:
¿Dónde está mín.
Como puedes ver, las ecuaciones exponenciales tienen aplicaciones muy reales en la práctica. Ahora quiero mostrarte otra forma (sencilla) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común de entre paréntesis y luego agrupar los términos. No te asustes por mis palabras, ya te topaste con este método en séptimo grado cuando estudiabas polinomios. Por ejemplo, si necesitaras factorizar la expresión:
Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto. Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de cuadrados:
y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:
Entonces la expresión original es equivalente a esta:
Dónde derivar el factor común ya no es difícil:
Por eso,
Esto es aproximadamente lo que haremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "común" entre los términos y sacarlo de los paréntesis, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =)) Por ejemplo:
A la derecha está lejos de ser una potencia de siete (¡lo comprobé!) Y a la izquierda, es un poco mejor, por supuesto, puedes "cortar" el factor a del segundo del primer término y luego repartir con lo que tienes, pero seamos más prudentes contigo. No quiero lidiar con las fracciones que inevitablemente se forman al "seleccionar", así que ¿no debería eliminarlas? Entonces no tendré fracciones: como dicen, los lobos están alimentados y las ovejas están a salvo:
Calcula la expresión entre paréntesis. Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más deberíamos esperar?).
Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: , de.
Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):
¡Qué problema! ¡Aquí no tenemos ningún punto en común! No está del todo claro qué hacer ahora. Hagamos lo que podamos: primero, mueva los “cuatros” hacia un lado y los “cinco” hacia el otro:
Ahora eliminemos al "general" de izquierda y derecha:
¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista no se ve nada, pero veamos más profundamente:
Bueno, ahora nos aseguraremos de que a la izquierda solo tengamos la expresión c, y a la derecha, todo lo demás. ¿Cómo hacemos esto? He aquí cómo: divide ambos lados de la ecuación primero por (para eliminar el exponente de la derecha) y luego divide ambos lados por (para eliminar el factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:
¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una expresión simple. Entonces inmediatamente concluimos que
Aquí te dejamos otro ejemplo para que lo refuerces:
Le daré una breve solución (sin molestarme con explicaciones), intentaré comprender usted mismo todas las "sutilezas" de la solución.
Ahora vamos a la consolidación final del material cubierto. Intente resolver los siguientes problemas usted mismo. solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:
- Saquemos el factor común de paréntesis: Donde:
- Presentemos la primera expresión en la forma: , divida ambos lados por y obtenga eso
- , luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
- Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambos lados entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
- Sácalo de los soportes.
- Sácalo de los soportes.
ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL MEDIO
Supongo que después de leer el primer artículo, que hablaba de ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas?, has dominado los conocimientos mínimos necesarios para resolver los ejemplos más simples.
Ahora veremos otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es
“método de introducir una nueva variable” (o reemplazo). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no sólo ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.
Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que puedas resolver fácilmente. Lo único que le queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, regresar de lo reemplazado a lo reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy sencillo:
Ejemplo 1:
Esta ecuación se resuelve mediante una “sustitución simple”, como la llaman despectivamente los matemáticos. De hecho, el reemplazo aquí es el más obvio. Sólo hay que ver que
Entonces la ecuación original se convertirá en esta:
Si además imaginamos cómo, queda absolutamente claro qué es lo que hay que sustituir: por supuesto, . ¿En qué se convierte entonces la ecuación original? Esto es lo que:
Puedes encontrar fácilmente sus raíces por tu cuenta: . ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué se me olvidó mencionar? A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará ¡Solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, a usted y a mí no nos interesa, pero la segunda raíz nos conviene bastante:
Entonces de dónde.
Respuesta:
Como puedes ver, en el ejemplo anterior, un reemplazo solo pedía nuestras manos. Desafortunadamente, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino que practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.
Ejemplo 2.
Está claro que lo más probable es que tengamos que hacer un reemplazo (esta es la más pequeña de las potencias incluidas en nuestra ecuación), pero antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación debe estar "preparada" para ello, a saber: , . Luego puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:
Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas absolutamente terribles para resolverla (bueno, hablando en vista general). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer. Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “hermosa”, necesitamos obtenerla en forma de alguna potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?). Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar con potencias de tres).
Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah...
.
El lado izquierdo es igual.
Lado derecho: !
¡Comer! Adiviné la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!
¿Conoce el esquema de división en “esquinas”? Por supuesto que sí, lo usas cuando divides un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con los polinomios. Hay un teorema maravilloso:
Aplicando a mi situación, esto me dice que es divisible sin resto por. ¿Cómo se lleva a cabo la división? He aquí cómo:
Miro por qué monomio debo multiplicar para obtener Claramente, entonces:
Resto la expresión resultante y obtengo:
Ahora bien, ¿por qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que, entonces obtendré:
y nuevamente restamos la expresión resultante de la restante:
Bueno, el último paso es multiplicar y restar de la expresión restante:
¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos acumulado en privado? Por supuesto: .
Luego obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:
Resolvamos la segunda ecuación:
Tiene raíces:
Entonces la ecuación original:
tiene tres raíces:
Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que es menor que cero. Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:
Respuesta: ..
No quería asustarlos con este ejemplo, más bien mi objetivo era mostrar que, aunque tuvimos un reemplazo bastante simple, condujo a bastante; ecuación compleja, cuya solución requirió de nuestra parte algunas habilidades especiales. Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en este caso fue bastante obvio.
Aquí hay un ejemplo con un reemplazo un poco menos obvio:
No está nada claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y no se puede obtener una base de la otra elevándola a cualquier potencia (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren sólo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:
Definición:
Por tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo son conjugados.
En este caso, el paso inteligente sería Multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.
Por ejemplo, en, entonces el lado izquierdo de la ecuación será igual a y el lado derecho. Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original quedará así:
sus raíces, entonces, y recordando eso, lo entendemos.
Respuesta: , .
Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares". Las siguientes tareas se toman del Examen Estatal Unificado C1 ( nivel aumentado complejidad). Ya eres lo suficientemente alfabetizado como para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Sólo daré el reemplazo requerido.
- Resuelve la ecuación:
- Encuentra las raíces de la ecuación:
- Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:
Y ahora algunas breves explicaciones y respuestas:
- Aquí nos basta señalar que... Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación se puede resolver reemplazando. Haz los cálculos adicionales tú mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver problemas trigonométricos sencillos (según seno o coseno). Veremos soluciones a ejemplos similares en otras secciones.
- Aquí puedes incluso prescindir de la sustitución: simplemente mueve el sustraendo hacia la derecha y representa ambas bases mediante potencias de dos: y luego pasa directamente a la ecuación cuadrática.
- La tercera ecuación también se resuelve de forma bastante estándar: imaginemos cómo. Luego, reemplazando, obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,
Ya sabes qué es un logaritmo, ¿verdad? ¿No? ¡Entonces lea el tema con urgencia!
La primera raíz obviamente no pertenece al segmento, ¡pero la segunda no está clara! ¡Pero lo descubriremos muy pronto! Entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) Comparemos:
Restando de ambos lados obtenemos:
El lado izquierdo se puede representar como:
multiplica ambos lados por:
se puede multiplicar por, entonces
Luego compara:
Desde entonces:
Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido.
Respuesta:
Como se puede ver, La selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos., por lo que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver ecuaciones exponenciales. Como comprenderás, ¡en matemáticas todo está interconectado! Como decía mi profesor de matemáticas: “las matemáticas, como la historia, no se pueden leer de la noche a la mañana”.
Como regla general, todos La dificultad para resolver el problema C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con un ejemplo más:
Está claro que la ecuación en sí se resuelve de forma bastante sencilla. Al hacer una sustitución reducimos nuestra ecuación original a lo siguiente:
Primero veamos la primera raíz. Comparemos y: desde entonces. (propiedad función logarítmica, en). Entonces queda claro que la primera raíz no pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función a es creciente). Queda por comparar y...
desde entonces, al mismo tiempo. De esta manera puedo “clavar una clavija” entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es menor y la segunda es mayor. Entonces la segunda expresión es mayor que la primera y la raíz pertenece al intervalo.
Respuesta: .
Finalmente, veamos otro ejemplo de una ecuación donde la sustitución no es estándar:
Comencemos de inmediato con lo que se puede hacer y lo que, en principio, se puede hacer, pero es mejor no hacerlo. Puedes imaginarlo todo a través de las potencias de tres, dos y seis. ¿A qué conducirá esto? No conducirá a nada: a un revoltijo de títulos, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar. ¿Qué se necesita entonces? Notemos que un ¿Y esto qué nos aportará? ¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:
Ahora dividamos ambos lados de la ecuación resultante por:
¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:
Bueno, ahora te toca a ti resolver los problemas de demostración, y solo les daré breves comentarios para que no te confundas. el camino correcto! ¡Buena suerte!
1. ¡El más difícil! ¡Es tan difícil ver un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando resaltando un cuadrado completo. Para solucionarlo basta señalar que:
Entonces aquí está tu reemplazo:
(¡¡Ten en cuenta que aquí durante nuestro reemplazo no podemos descartar la raíz negativa!!! ¿Por qué crees que?)
Ahora para resolver el ejemplo solo tienes que resolver dos ecuaciones:
Ambos pueden resolverse mediante un “reemplazo estándar” (¡pero el segundo en un ejemplo!)
2. Observe eso y haga un reemplazo.
3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.
4. Divide el numerador y denominador de la fracción por (o, si lo prefieres) y haz la sustitución o.
5. Observa que los números y están conjugados.
ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL AVANZADO
Además, veamos de otra manera: resolver ecuaciones exponenciales usando el método de logaritmo. No puedo decir que resolver ecuaciones exponenciales usando este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la decisión correcta nuestra ecuación. Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas": es decir, aquellas donde se dan funciones de distinto tipo.
Por ejemplo, una ecuación de la forma:
en el caso general, solo se puede resolver tomando logaritmos de ambos lados (por ejemplo, a la base), en lo que la ecuación original quedará como sigue:
Veamos el siguiente ejemplo:
Está claro que según el ODZ de la función logarítmica, solo nos interesa. Sin embargo, esto se desprende no sólo de la ODZ del logaritmo, sino también por una razón más. Creo que no te resultará difícil adivinar cuál es.
Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:
Como puedes ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original nos llevó rápidamente a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con un ejemplo más:
Aquí tampoco hay nada de malo: llevemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base, luego obtenemos:
Hagamos un reemplazo:
Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:
que no cumple con el requisito (¡piense de dónde viene!)
Respuesta:
Intenta escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:
Ahora compara tu decisión con esto:
1. Logaritmemos ambos lados hasta la base, teniendo en cuenta que:
(la segunda raíz no nos conviene debido a un reemplazo)
2. Logaritmo a la base:
Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma:
ECUACIONES EXPONENTARIAS. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS
Ecuación exponencial
Ecuación de la forma:
llamado la ecuación exponencial más simple.
Propiedades de los grados
Enfoques de solución
- Reducción a la misma base
- Reducción al mismo exponente.
- Reemplazo de variables
- Simplificando la expresión y aplicando una de las anteriores.
Resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Esto es importante.
Aquí tienes ejemplos de ecuaciones exponenciales:
3x2x = 8x+3
¡Prestar atención! En las bases de grados (abajo) - solo numeros. EN indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Si, de repente, aparece una X en la ecuación en algún lugar que no sea un indicador, por ejemplo:
esta será una ecuación tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos de resolver ecuaciones exponenciales en su forma más pura.
De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que consideraremos.
Resolver ecuaciones exponenciales simples.
Primero, resolvamos algo muy básico. Por ejemplo:
Incluso sin ninguna teoría, por simple selección queda claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? Ningún otro valor de X funciona. Ahora veamos la solución a esta complicada ecuación exponencial:
¿Qué hemos hecho? De hecho, simplemente tiramos las mismas bases (triples). Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el clavo!
De hecho, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha idéntico números en cualquier potencia, estos números se pueden eliminar y los exponentes se pueden igualar. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?)
Sin embargo, recordemos firmemente: ¡Puedes eliminar bases solo cuando los números de base a la izquierda y a la derecha estén espléndidamente aislados! Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:
2 x +2 x +1 = 2 3, o
¡Los dos no se pueden eliminar!
Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo pasar de malvadas expresiones exponenciales a ecuaciones más simples.
"¡Esos son los tiempos!" - dices. “¿¡Quién daría una lección tan primitiva sobre pruebas y exámenes!?”
Tengo que estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora sabes hacia dónde apuntar al resolver ejemplos complicados. Debe llevarse al formulario donde esté el mismo número base a la izquierda y a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, este es un clásico de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado. a nosotros mente. Por supuesto, según las reglas de las matemáticas.
Veamos ejemplos que requieren un esfuerzo adicional para reducirlos a lo más simple. llamémoslos ecuaciones exponenciales simples.
Resolver ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.
Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con grados. Sin conocimiento de estas acciones nada funcionará.
A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. ¿Necesitamos los mismos números base? Por eso los buscamos en el ejemplo de forma explícita o cifrada.
Veamos cómo se hace esto en la práctica.
Pongamos un ejemplo:
2 2x - 8x+1 = 0
La primera mirada atenta es hacia jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar eso
Dos y ocho son parientes de grado.) Es muy posible escribir:
8x+1 = (2 3)x+1
Si recordamos la fórmula de operaciones con grados:
(un norte) m = un norte m,
esto funciona genial:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
El ejemplo original empezó a verse así:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie ha cancelado las operaciones elementales de matemáticas!), obtenemos:
2 2x = 2 3(x+1)
Eso es prácticamente todo. Quitando las bases:
Resolvemos este monstruo y obtenemos
Esta es la respuesta correcta.
En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en ocho hay un dos cifrado. ¡Esta técnica (codificar bases comunes bajo diferentes números) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales! Sí, y también en logaritmos. Debes poder reconocer potencias de otros números en los números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.
El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplica, incluso en papel, y listo. Por ejemplo, cualquiera puede elevar 3 a la quinta potencia. 243 funcionará si conoces la tabla de multiplicar.) Pero en ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino viceversa... Descúbrelo qué número en qué grado está escondido detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.
Necesitas conocer las potencias de algunos números de vista, ¿no? ¿Vamos a practicar?
Determina qué potencias y qué números son los números:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Si miras de cerca puedes ver hecho extraño. ¡Hay muchas más respuestas que tareas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6, 4 3, 8 2, eso es todo 64.
Supongamos que ha tomado nota de la información sobre la familiaridad con los números). Permítame recordarle también que para resolver ecuaciones exponenciales usamos todo acervo de conocimientos matemáticos. Incluidos los de clases junior y media. No fuiste directamente a la escuela secundaria, ¿verdad?)
Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, suele ser útil poner el factor común entre paréntesis (¡hola al séptimo grado!). Veamos un ejemplo:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Y de nuevo, ¡el primer vistazo está en los cimientos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Pero queremos que sean iguales. Pues en este caso el deseo se cumple por completo!) Porque:
9x = (3 2)x = 3 2x
Utilizando las mismas reglas para tratar los títulos:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Eso es genial, puedes escribirlo:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Dimos un ejemplo por las mismas razones. ¿¡Y ahora qué!? No se pueden tirar tres... ¿Callejón sin salida?
De nada. Recuerde la regla de decisión más universal y poderosa todos tareas de matemáticas:
Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!
Mira, todo saldrá bien).
¿Qué hay en esta ecuación exponencial? Poder¿hacer? Sí, en el lado izquierdo ¡solo pide que lo saquen de paréntesis! El multiplicador general de 3 2x así lo indica claramente. Probemos y luego veremos:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
¡El ejemplo es cada vez mejor!
Recordemos que para eliminar motivos necesitamos un grado puro, sin ningún coeficiente. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 70 y obtenemos:
¡Ups! ¡Todo mejoró!
Esta es la respuesta final.
Sucede, sin embargo, que se consigue rodar sobre las mismas bases, pero su eliminación no es posible. Esto sucede en otros tipos de ecuaciones exponenciales. Dominemos este tipo.
Reemplazo de una variable al resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
Resolvamos la ecuación:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Primero, como siempre. Pasemos a una base. A un dos.
4 x = (2 2) x = 2 2 x
Obtenemos la ecuación:
2 2x - 3 2x +2 = 0
Y aquí es donde nos quedamos. Las técnicas anteriores no funcionarán, se mire como se mire. Tendremos que sacar de nuestro arsenal otro método poderoso y universal. se llama reemplazo de variables.
La esencia del método es sorprendentemente sencilla. En lugar de un icono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!
Así que deja
Entonces 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
En nuestra ecuación reemplazamos todas las potencias con x por t:
Bueno, ¿te estás dando cuenta?) Ecuaciones cuadráticas¿Ya lo has olvidado? Resolviendo por el discriminante obtenemos:
Lo principal aquí es no parar, como sucede... Esta aún no es la respuesta, necesitamos x, no t. Volvamos a las X, es decir. hacemos un reemplazo inverso. Primero para t 1:
Por lo tanto,
Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
Hm... 2 x a la izquierda, 1 a la derecha... ¿Problema? ¡De nada! Basta recordar (de operaciones con poderes, sí...) que una unidad es cualquier número elevado a la potencia cero. Cualquier. Lo que sea necesario, lo instalaremos. Necesitamos un dos. Medio:
Eso es todo ahora. Tenemos 2 raíces:
Ésta es la respuesta.
En resolver ecuaciones exponenciales Al final a veces terminas con algún tipo de expresión incómoda. Tipo:
De siete a dos hasta grado simple no funciona. No son parientes... ¿Cómo podemos serlo nosotros? Alguien puede estar confundido... Pero la persona que leyó en este sitio el tema “¿Qué es un logaritmo?” , simplemente sonríe moderadamente y escribe con mano firme la respuesta absolutamente correcta:
No puede haber tal respuesta en las tareas "B" del Examen Estatal Unificado. Allí se requiere un número específico. Pero en las tareas "C" es fácil.
Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos los puntos principales.
1. En primer lugar, analizamos jardines grados. Nos preguntamos si es posible hacerlos. idéntico. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con grados.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir a potencias!
2. Intentamos llevar la ecuación exponencial a la forma cuando a la izquierda y a la derecha hay idéntico números en cualquier potencia. Usamos acciones con grados Y factorización. Lo que se puede contar en números, lo contamos.
3. Si el segundo consejo no funcionó, intente utilizar el reemplazo de variables. El resultado puede ser una ecuación que se pueda resolver fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce al cuadrado.
4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer de vista las potencias de algunos números.
Como de costumbre, al final de la lección se te invita a decidir un poco). Por tu cuenta. De lo simple a lo complejo.
Resolver ecuaciones exponenciales:
Más difícil:
2x+3 - 2x+2 - 2x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
Encuentra el producto de raíces:
2 3 + 2 x = 9
¿Funcionó?
Bueno entonces el ejemplo más complicado(decidido, sin embargo, en la mente...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
¿Qué es más interesante? Entonces aquí tienes un mal ejemplo. Bastante tentador para mayor dificultad. Permítanme insinuar que en este ejemplo, el ingenio y la mayoría regla universal soluciones a todos los problemas matemáticos).
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un ejemplo más sencillo, para relajarse):
9 2 x - 4 3 x = 0
Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
¡Sí, sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Por qué considerarlos, es necesario resolverlos!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, necesitas ingenio... Y que séptimo grado te ayude (¡esto es una pista!).
Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):
1; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.
¿Está todo bien? Excelente.
¿Algún problema? ¡No hay duda! En la Sección Especial 555, todas estas ecuaciones exponenciales se resuelven con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información adicional valiosa sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No sólo estos.)
Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije ni una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.