Cómo encontrar el grado de una ecuación. Ecuaciones exponenciales. La guía definitiva (2019)

Entra al canal de youtube de nuestra web para estar al día de todas las nuevas lecciones en vídeo.

Primero, recordemos las fórmulas básicas de las potencias y sus propiedades.

producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. una norte una metro = una norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un norte / un metro = un norte - metro

Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.

Ejemplos ecuaciones exponenciales:

En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está abajo y la variable; incógnita grado o indicador.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2×5=10
16x - 4x - 6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra decisión.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar idéntico si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Comencemos con algo simple.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus potencias.

x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 – 2
x=2
Respuesta:x=2

En el siguiente ejemplo puedes ver que las bases son diferentes: 3 y 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.

3 3x = (3 2)x+8

Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ahora está claro que en los lados izquierdo y derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Suma a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imaginemos 4=2 2:

2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x – 12*3x +27= 0

Transformemos:
9x = (3 2)x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nuestras bases son iguales, iguales a tres. En este ejemplo, puedes ver que las tres primeras tienen un grado dos veces (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:

Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Volviendo a la variable incógnita.

Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x

Por lo tanto,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.

En la web puedes hacer preguntas de tu interés en el apartado AYUDA A DECIDIR, seguro que te responderemos.

Únete al grupo

Ejemplos:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Al resolver cualquier ecuación exponencial, nos esforzamos por llevarla a la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), y luego hacer la transición a la igualdad de exponentes, es decir:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Por ejemplo:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

¡Importante! De la misma lógica se desprenden dos requisitos para dicha transición:
- número en la izquierda y la derecha deben ser iguales;
- los grados de izquierda y derecha deben ser “puros”, es decir, no debe haber multiplicación, división, etc.

Por ejemplo:

Para reducir la ecuación a la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) y se utilizan.

Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solución:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sabemos que \(27 = 3^3\). Teniendo esto en cuenta, transformamos la ecuación.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Por la propiedad de la raíz \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obtenemos que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). A continuación, usando la propiedad del grado \((a^b)^c=a^(bc)\), obtenemos \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		También sabemos que \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicando esto al lado izquierdo, obtenemos: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ahora recuerda que: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Esta fórmula también se puede utilizar en reverso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Entonces \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplicando la propiedad \((a^b)^c=a^(bc)\) al lado derecho, obtenemos: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Y ahora nuestras bases son iguales y no hay coeficientes que interfieran, etc. Entonces podemos hacer la transición.
		Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Solución: \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Nuevamente usamos la propiedad de potencia \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) en la dirección opuesta. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) Ahora recuerda que \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Usando las propiedades de los grados, transformamos: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Observamos detenidamente la ecuación y vemos que se sugiere el reemplazo \(t=2^x\). \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Sin embargo, encontramos los valores de \(t\) y necesitamos \(x\). Volvemos a las X, haciendo un reemplazo inverso. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformemos la segunda ecuación usando la propiedad del poder negativo... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...y terminamos la respuesta. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Respuesta : \(-1; 1\). La pregunta sigue siendo: ¿cómo saber cuándo utilizar qué método? Esto viene con la experiencia. Hasta que lo haya desarrollado, utilice la recomendación general para resolver problemas complejos: "si no sabe qué hacer, haga lo que pueda". Es decir, busque cómo transformar la ecuación en principio e intente hacerlo: ¿qué pasa si sucede? Lo principal es realizar únicamente transformaciones basadas en matemáticas. Ecuaciones exponenciales sin soluciones. Veamos dos situaciones más que suelen confundir a los estudiantes: - un número positivo elevado a la potencia es igual a cero, por ejemplo, \(2^x=0\); - un número positivo es igual a una potencia de un número negativo, por ejemplo, \(2^x=-4\). Intentemos solucionarlo por la fuerza bruta. Si x es un número positivo, entonces a medida que x crece, la potencia total \(2^x\) solo aumentará: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) También por. Quedan X negativas. Recordando la propiedad \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), comprobamos: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) A pesar de que el número se hace más pequeño con cada paso, nunca llegará a cero. Entonces el grado negativo no nos salvó. Llegamos a una conclusión lógica: Un número positivo en cualquier grado seguirá siendo un número positivo. Por tanto, las dos ecuaciones anteriores no tienen soluciones. Ecuaciones exponenciales con diferentes bases. En la práctica, a veces nos encontramos con ecuaciones exponenciales con bases diferentes que no son reducibles entre sí, y al mismo tiempo con los mismos exponentes. Se ven así: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), donde \(a\) y \(b\) son números positivos. Por ejemplo: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente dividiendo por cualquiera de los lados de la ecuación (generalmente dividido por el lado derecho, es decir, por \(b^(f(x))\). Puedes dividir de esta manera porque un número positivo es positivo a cualquier potencia (es decir, no dividimos por cero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solución: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Aquí no podremos convertir un cinco en un tres, ni viceversa (al menos sin usar ). Esto significa que no podemos llegar a la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Sin embargo, los indicadores son los mismos. Dividamos la ecuación por el lado derecho, es decir, por \(3^(x+7)\) (podemos hacer esto porque sabemos que tres no será cero en ningún grado). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Ahora recuerda la propiedad \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) y úsala a la izquierda en la dirección opuesta. A la derecha, simplemente reducimos la fracción. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Parecería que las cosas no mejoraron. Pero recuerde una propiedad más de la potencia: \(a^0=1\), en otras palabras: "cualquier número elevado a la potencia cero es igual a \(1\)". Lo contrario también es cierto: “uno puede representarse como cualquier número elevado a la potencia cero”. Aprovechemos esto haciendo que la base de la derecha sea igual que la de la izquierda. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) ¡Voilá! Deshagámonos de las bases. Estamos escribiendo una respuesta. Respuesta : \(-7\). A veces la “identidad” de los exponentes no es obvia, pero el uso hábil de las propiedades de los exponentes resuelve este problema. Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solución: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) La ecuación se ve muy triste... No sólo las bases no se pueden reducir al mismo número (siete de ninguna manera será igual a \(\frac(1)(3)\)), sino que también los exponentes son diferentes. .. Sin embargo, usemos el exponente izquierdo dos. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Recordando la propiedad \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformamos desde la izquierda: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ahora, recordando la propiedad de grado negativo \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformamos desde la derecha: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) ¡Aleluya! ¡Los indicadores son los mismos! Actuando según el esquema que ya conocemos, resolvemos antes de la respuesta. Respuesta : \(2\).

¿Qué es una ecuación exponencial? Ejemplos.

Entonces, una ecuación exponencial... ¡Una nueva exhibición única en nuestra exposición general de una amplia variedad de ecuaciones!) Como casi siempre es el caso, la palabra clave de cualquier término matemático nuevo es el adjetivo correspondiente que lo caracteriza. Así es aquí. Palabra clave en el término "ecuación exponencial" está la palabra "indicativo". ¿Qué significa? Esta palabra significa que la incógnita (x) se encuentra en términos de cualquier grado.¡Y sólo allí! Esto es extremadamente importante.

Por ejemplo, estas ecuaciones simples:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O incluso estos monstruos:

2 sen x = 0,5

Preste atención inmediatamente a una cosa importante: razones grados (abajo) – solo numeros. pero en indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Absolutamente cualquiera.) Todo depende de la ecuación específica. Si, de repente, x aparece en algún otro lugar de la ecuación, además del indicador (digamos, 3 x = 18 + x 2), entonces dicha ecuación ya será una ecuación tipo mixto . Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. Por lo tanto, en esta lección No los consideraremos. Para deleite de los estudiantes.) Aquí consideraremos sólo ecuaciones exponenciales en su forma “pura”.

En general, no todas y ni siquiera siempre las ecuaciones exponenciales puras se pueden resolver con claridad. Pero entre toda la rica variedad de ecuaciones exponenciales, hay ciertos tipos que pueden y deben resolverse. Son este tipo de ecuaciones las que consideraremos. Y definitivamente resolveremos los ejemplos). ¡Así que pongámonos cómodos y listo! Como en los shooters por ordenador, nuestro viaje se desarrollará a través de niveles). De elemental a simple, de simple a intermedio y de intermedio a complejo. En el camino, también le esperará un nivel secreto: técnicas y métodos para resolver ejemplos no estándar. De los que no lees más libros de texto escolares... Bueno, al final, por supuesto, te espera el jefe final en forma de tarea.)

Nivel 0. ¿Cuál es la ecuación exponencial más simple? Resolver ecuaciones exponenciales simples.

Primero, veamos algunas cosas elementales francas. Tienes que empezar por algún lado, ¿verdad? Por ejemplo, esta ecuación:

2 x = 2 2

Incluso sin ninguna teoría, por simple lógica y sentido común está claro que x = 2. No hay otra manera, ¿verdad? Ningún otro significado de X es adecuado... Y ahora dirijamos nuestra atención a registro de decisión esta genial ecuación exponencial:

2 x = 2 2

X = 2

¿Qué nos pasó? Y sucedió lo siguiente. De hecho, lo tomamos y... ¡simplemente tiramos las mismas bases (dos)! Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el blanco!

Sí, efectivamente, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha idéntico números en cualquier potencia, entonces estos números se pueden descartar y simplemente igualar los exponentes. Las matemáticas lo permiten.) Y luego puedes trabajar por separado con los indicadores y resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?

Aquí está la idea clave para resolver cualquier (sí, ¡exactamente cualquier!) ecuación exponencial: Usando transformaciones idénticas, es necesario asegurarse de que los lados izquierdo y derecho de la ecuación sean idéntico números base en varias potencias. Y luego puedes eliminar con seguridad las mismas bases e igualar los exponentes. Y trabaja con una ecuación más simple.

Ahora recordemos regla de hierro: Es posible eliminar bases idénticas si y sólo si los números a la izquierda y a la derecha de la ecuación tienen números de base. en un espléndido aislamiento.

¿Qué significa en espléndido aislamiento? Esto significa sin vecinos ni coeficientes. Déjame explicarte.

Por ejemplo, en la ecuación.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

¡Los tres no se pueden eliminar! ¿Por qué? Porque a la izquierda no sólo tenemos un tres solitario por grado, sino trabajar 3·3x-5. Interfieren tres más: el coeficiente, ¿entiendes?)

Lo mismo puede decirse de la ecuación

5 3 x = 5 2 x +5 x

Aquí también todas las bases son iguales: cinco. Pero en la derecha no tenemos una única potencia de cinco: ¡hay una suma de potencias!

En resumen, tenemos derecho a eliminar bases idénticas sólo cuando nuestra ecuación exponencial se ve así y sólo así:

aF (incógnita) = una g (incógnita)

Este tipo de ecuación exponencial se llama el mas simple. O, científicamente, canónico . Y no importa qué ecuación complicada tengamos frente a nosotros, de una forma u otra la reduciremos precisamente a esta forma más simple (canónica). O, en algunos casos, a totalidad ecuaciones de este tipo. Entonces nuestra ecuación más simple se puede escribir como vista general reescríbelo así:

F(x) = g(x)

Eso es todo. Esta sería una conversión equivalente. En este caso, f(x) y g(x) pueden ser absolutamente cualquier expresión con una x. Lo que sea.

Quizás un estudiante particularmente curioso se pregunte: ¿por qué diablos descartamos tan fácil y simplemente las mismas bases a la izquierda y a la derecha e igualamos los exponentes? La intuición es intuición, pero ¿y si, en alguna ecuación y por alguna razón, este enfoque resulta incorrecto? ¿Es siempre legal desechar los mismos motivos? Desafortunadamente, para una respuesta matemática rigurosa a esta pregunta interesante necesitas sumergirte muy profunda y seriamente en teoria general comportamiento del dispositivo y de la función. Y un poco más concretamente - en el fenómeno estricta monotonía. En particular, la estricta monotonía. función exponencialy= una x. Dado que es la función exponencial y sus propiedades las que subyacen a la solución de ecuaciones exponenciales, sí.) Se dará una respuesta detallada a esta pregunta en una lección especial separada dedicada a resolver ecuaciones complejas no estándar utilizando la monotonicidad de diferentes funciones).

Explicar este punto en detalle ahora solo sorprendería al estudiante promedio y lo asustaría de antemano con una teoría seca y pesada. No haré esto.) Porque nuestro principal en este momento tarea - ¡Aprende a resolver ecuaciones exponenciales!¡Los más simples! Por lo tanto, no nos preocupemos todavía y descartemos con valentía las mismas razones. Este Poder, ¡créame!) Y luego resolvemos la ecuación equivalente f(x) = g(x). Como regla general, más simple que el exponencial original.

Se supone, por supuesto, que en este momento la gente ya sabe cómo resolver al menos , y ecuaciones, sin x en exponentes). Para aquellos que aún no saben cómo, no duden en cerrar esta página y seguir los enlaces correspondientes. y llenar los viejos vacíos. De lo contrario lo pasarás mal, sí...

No me refiero a ecuaciones irracionales, trigonométricas y otras ecuaciones brutales que también pueden surgir en el proceso de eliminación de los cimientos. Pero no os alarméis, por ahora no consideraremos la crueldad absoluta en términos de grados: es demasiado pronto. Entrenaremos solo con las ecuaciones más simples).

Ahora veamos ecuaciones que requieren un esfuerzo adicional para reducirlas a lo más simple. Para distinguirlos, llamémoslos ecuaciones exponenciales simples. Entonces, ¡pasemos al siguiente nivel!

Nivel 1. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores naturales.

Las reglas clave para resolver cualquier ecuación exponencial son reglas para tratar los títulos. Sin este conocimiento y habilidades nada funcionará. Ay. Entonces, si hay problemas con los títulos, primero eres bienvenido. Además, también necesitaremos. Estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base para resolver todas las ecuaciones matemáticas en general. Y no sólo los demostrativos. Entonces, quien lo haya olvidado, mire también el enlace: no los pongo ahí simplemente.

Pero las operaciones con poderes y transformaciones de identidad por sí solas no son suficientes. También se requiere observación personal e ingenio. Necesitamos las mismas razones, ¿no? ¡Así que examinamos el ejemplo y los buscamos de forma explícita o disfrazada!

Por ejemplo, esta ecuación:

3 2 x – 27 x +2 = 0

primer vistazo a jardines. Son... ¡diferentes! Tres y veintisiete. Pero es demasiado pronto para entrar en pánico y desesperarse. Es hora de recordar eso

27 = 3 3

¡Los números 3 y 27 son parientes de grado! Y cercanos.) Por lo tanto, tenemos todo derecho anotar:

27x+2 = (3 3)x+2

Ahora conectemos nuestro conocimiento sobre acciones con grados(¡y te lo advertí!). Hay una fórmula muy útil allí:

(un metro) n = un metro

Si ahora lo pones en acción, funciona genial:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

El ejemplo original ahora se ve así:

3 2x – 3 3(x +2) = 0

Genial, las bases de los títulos se han nivelado. Eso es lo que queríamos. La mitad de la batalla está terminada.) Ahora lanzamos la transformación de identidad básica: movemos 3 3(x +2) hacia la derecha. Nadie ha cancelado las operaciones elementales de las matemáticas, sí.) Obtenemos:

3 2 x = 3 3(x +2)

¿Qué nos aporta este tipo de ecuación? Y el hecho de que ahora nuestra ecuación se reduce. a la forma canónica: a la izquierda y a la derecha hay los mismos números (tres) en potencias. Además, ambos tres se encuentran en un espléndido aislamiento. Siéntete libre de eliminar los triples y obtener:

2x = 3(x+2)

Resolvemos esto y obtenemos:

X = -6

Eso es todo. Esta es la respuesta correcta.)

Ahora pensemos en la solución. ¿Qué nos salvó en este ejemplo? El conocimiento de los poderes de tres nos salvó. ¿Cómo exactamente? Nosotros identificado¡El número 27 contiene un tres cifrado! ¡Este truco (codificar la misma base con diferentes números) es uno de los más populares en ecuaciones exponenciales! A menos que sea el más popular. Sí, y de la misma forma, por cierto. ¡Es por eso que la observación y la capacidad de reconocer potencias de otros números en los números son tan importantes en las ecuaciones exponenciales!

Consejos prácticos:

Necesitas conocer las potencias de los números populares. ¡En la cara!

Por supuesto, cualquiera puede elevar dos a la séptima potencia o tres a la quinta potencia. No en mi mente, pero al menos en un borrador. Pero en las ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo es necesario no elevar a una potencia, sino, por el contrario, descubrir qué número y a qué potencia se esconde detrás de un número, digamos, 128 o 243. Y esto es más complicado. que una simple subida, estarás de acuerdo. ¡Siente la diferencia, como dicen!

Dado que la capacidad de reconocer títulos en persona será útil no sólo en este nivel, sino también en los siguientes, aquí tienes una pequeña tarea:

Determina qué potencias y qué números son los números:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Respuestas (al azar, por supuesto):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

¡Sí, sí! No se sorprenda de que haya más respuestas que tareas. Por ejemplo, 2 8, 4 4 y 16 2 son todos 256.

Nivel 2. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores negativos y fraccionarios.

En este nivel ya estamos aprovechando al máximo nuestros conocimientos de titulaciones. Es decir, nos involucramos en esto proceso emocionante exponentes negativos y fraccionarios! ¡Sí, sí! Necesitamos aumentar nuestro poder, ¿verdad?

Por ejemplo, esta terrible ecuación:

Una vez más, el primer vistazo está en los cimientos. ¡Las razones son diferentes! ¡Y esta vez no se parecen ni remotamente entre sí! 5 y 0.04... Y para eliminar las bases se necesitan las mismas... ¿Qué hacer?

¡Está bien! De hecho, todo es igual, solo que la conexión entre cinco y 0,04 es visualmente poco visible. ¿Cómo podemos salir? ¡Pasemos al número 0,04 como fracción ordinaria! Y entonces, verá, todo saldrá bien).

0,04 = 4/100 = 1/25

¡Guau! ¡Resulta que 0,04 es 1/25! Bueno, ¡quién lo hubiera pensado!)

Entonces ¿cómo? ¿Es ahora más fácil ver la conexión entre los números 5 y 1/25? Eso es todo...

Y ahora según las reglas de acciones con grados con indicador negativo Puedes escribir con mano firme:

Genial. Entonces llegamos a la misma base: cinco. Ahora reemplazamos el número inconveniente 0.04 en la ecuación con 5 -2 y obtenemos:

De nuevo, según las reglas de las operaciones con grados, ahora podemos escribir:

(5-2)x-1 = 5-2(x-1)

Por si acaso, os recuerdo (por si alguien no lo sabe) que las normas básicas para tratar las titulaciones son válidas para cualquier indicadores! Incluso los negativos.) Por lo tanto, siéntase libre de tomar y multiplicar los indicadores (-2) y (x-1) de acuerdo con la regla adecuada. Nuestra ecuación mejora cada vez más:

¡Todo! Aparte de los cinco solitarios, no hay nada más en los poderes de izquierda y derecha. La ecuación se reduce a forma canónica. Y luego, por el camino moleteado. Quitamos los cinco y equiparamos los indicadores:

incógnita 2 –6 incógnita+5=-2(incógnita-1)

El ejemplo está casi resuelto. Todo lo que queda son matemáticas de primaria y secundaria: abra (¡correctamente!) los corchetes y recopile todo lo que está a la izquierda:

incógnita 2 –6 incógnita+5 = -2 incógnita+2

incógnita 2 –4 incógnita+3 = 0

Resolvemos esto y obtenemos dos raíces:

incógnita 1 = 1; incógnita 2 = 3

Eso es todo.)

Ahora pensemos de nuevo. ¡En este ejemplo nuevamente tuvimos que reconocer el mismo número en diferentes grados! Es decir, ver un cinco cifrado en el número 0,04. Y esta vez - en grado negativo!¿Cómo hicimos esto? De buenas a primeras, de ninguna manera. Pero después de la transición de decimal 0,04 a la fracción común 1/25 y ¡listo! Y luego toda la decisión fue como un reloj).

Por tanto, otro consejo práctico ecológico.

Si una ecuación exponencial contiene fracciones decimales, entonces pasamos de fracciones decimales a fracciones ordinarias. EN fracciones ordinarias¡Es mucho más fácil reconocer las potencias de muchos números populares! Después del reconocimiento, pasamos de fracciones a potencias con exponentes negativos.

¡Tenga en cuenta que este truco ocurre muy, muy a menudo en ecuaciones exponenciales! Pero la persona no está en el tema. Mira, por ejemplo, los números 32 y 0,125 y se enoja. Sin que él lo sepa, se trata del mismo diablo, sólo que en diferentes grados... ¡Pero ya estás en el tema!)

Resuelve la ecuación:

¡En! Parece un horror silencioso... Sin embargo, las apariencias engañan. Esta es la ecuación exponencial más simple, a pesar de su abrumador apariencia. Y ahora te lo mostraré.)

Primero, veamos todos los números en las bases y coeficientes. Son, por supuesto, diferentes, sí. Pero aún así nos arriesgaremos y trataremos de hacerlos. idéntico! Intentemos llegar a el mismo número en diferentes potencias. Además, preferentemente, los números son lo más pequeños posible. Entonces, ¡comencemos a decodificar!

Bueno, con los cuatro todo queda claro de inmediato: son 2 2. Vale, eso ya es algo.)

Con una fracción de 0,25, todavía no está claro. Necesito comprobarlo. Utilicemos consejos prácticos: pase de una fracción decimal a una fracción ordinaria:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mucho mejor ya. Porque ahora se ve claramente que 1/4 es 2 -2. Genial, y el número 0,25 también es parecido a dos.)

Hasta ahora, todo bien. Pero la peor cifra de todas sigue siendo: raíz cuadrada de dos!¿Qué hacer con este pimiento? ¿Se puede representar también como una potencia de dos? Y quién sabe...

Bueno, ¡profundicemos nuevamente en nuestro tesoro de conocimientos sobre títulos! Esta vez además conectamos nuestro conocimiento. sobre las raíces. Del curso de noveno grado, tú y yo deberíamos haber aprendido que cualquier raíz, si se desea, siempre se puede convertir en un grado. con un indicador fraccionario.

Como esto:

En nuestro caso:

¡Guau! Resulta que la raíz cuadrada de dos es 2 1/2. ¡Eso es todo!

¡Genial! Todos nuestros números inconvenientes en realidad resultaron ser dos cifrados). No lo discuto, en algún lugar cifrado de manera muy sofisticada. ¡Pero también estamos mejorando nuestra profesionalidad en la resolución de dichos cifrados! Y entonces todo ya es obvio. En nuestra ecuación reemplazamos los números 4, 0,25 y la raíz de dos por potencias de dos:

¡Todo! Las bases de todos los grados en el ejemplo fueron las mismas: dos. Y ahora se utilizan acciones estándar con grados:

soyun = soy + norte

un m: un n = un m-n

(un metro) n = un metro

Para el lado izquierdo obtienes:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para el lado derecho será:

Y ahora nuestra ecuación malvada se ve así:

Para aquellos que no han descubierto exactamente cómo surgió esta ecuación, entonces la pregunta aquí no es sobre ecuaciones exponenciales. La pregunta es sobre acciones con grados. ¡Les pedí que se lo repitieran urgentemente a quienes tienen problemas!

¡Aquí está la línea de meta! ¡Se ha obtenido la forma canónica de la ecuación exponencial! Entonces ¿cómo? ¿Te he convencido de que no todo da tanto miedo? ;) Eliminamos los dos y equiparamos los indicadores:

Todo lo que queda es resolver esta ecuación lineal. ¿Cómo? Con la ayuda de transformaciones idénticas, por supuesto). ¡Decide qué está pasando! Multiplica ambos lados por dos (para eliminar la fracción 3/2), mueve los términos con X hacia la izquierda, sin X hacia la derecha, trae los similares, cuenta, ¡y serás feliz!

Todo debería salir maravillosamente:

x=4

Ahora pensemos nuevamente en la solución. En este ejemplo, nos ayudó la transición de raíz cuadrada A grado con exponente 1/2. Además, solo una transformación tan astuta nos ayudó a alcanzar la misma base (dos) en todas partes, ¡lo que salvó la situación! Y, si no fuera por esto, entonces tendríamos todas las posibilidades de quedarnos congelados para siempre y nunca hacer frente a este ejemplo, sí...

Por eso, no descuidamos los siguientes consejos prácticos:

Si una ecuación exponencial contiene raíces, entonces pasamos de raíces a potencias con exponentes fraccionarios. Muy a menudo sólo una transformación de este tipo aclara la situación ulterior.

Por supuesto, las potencias negativas y fraccionarias ya son mucho más complejas que las potencias naturales. ¡Al menos desde el punto de vista de la percepción visual y, sobre todo, del reconocimiento de derecha a izquierda!

Está claro que elevar directamente, por ejemplo, dos elevado a -3 o cuatro elevado a -3/2 no es un problema tan grande. Para los que saben.)

Pero ve, por ejemplo, inmediatamente date cuenta de que

0,125 = 2 -3

O

Aquí sólo manda la práctica y la rica experiencia, sí. Y, por supuesto, una idea clara, ¿Qué es un grado negativo y fraccionario?¡Y también consejos prácticos! Si, si, esos mismos verde.) ¡Espero que aún te ayuden a navegar mejor por toda la variedad de títulos y aumenten significativamente tus posibilidades de éxito! Así que no los descuidemos. no soy en vano verde A veces escribo.)

Pero si se conocen incluso con potencias tan exóticas como las negativas y fraccionarias, entonces sus capacidades para resolver ecuaciones exponenciales se expandirán enormemente y podrán manejar casi cualquier tipo de ecuaciones exponenciales. Bueno, si no ninguna, entonces el 80 por ciento de todas las ecuaciones exponenciales, ¡seguro! ¡Sí, sí, no estoy bromeando!

Entonces, nuestra primera parte de nuestra introducción a las ecuaciones exponenciales ha llegado a su conclusión lógica. Y, como entrenamiento intermedio, tradicionalmente sugiero hacer un poco de autorreflexión).

Tarea 1.

Para que mis palabras sobre descifrar las potencias negativas y fraccionarias no queden en vano, ¡te propongo jugar un pequeño juego!

Expresar números como potencias de dos:

Respuestas (en desorden):

¿Funcionó? ¡Excelente! Luego hacemos una misión de combate: ¡resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples y simples!

Tarea 2.

Resuelve las ecuaciones (¡todas las respuestas son un desastre!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Respuestas:

x = 16

incógnita 1 = -1; incógnita 2 = 2

incógnita = 5

¿Funcionó? De hecho, ¡es mucho más sencillo!

Luego resolvemos el siguiente juego:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Respuestas:

incógnita 1 = -2; incógnita 2 = 2

incógnita = 0,5

incógnita 1 = 3; incógnita 2 = 5

¿Y estos ejemplos quedan uno? ¡Excelente! ¡Estás creciendo! Entonces aquí te dejamos algunos ejemplos más para que puedas picar:

Respuestas:

incógnita = 6

incógnita = 13/31

incógnita = -0,75

incógnita 1 = 1; incógnita 2 = 8/3

¿Y esto está decidido? Bueno, respeto! Me quito el sombrero.) Entonces, la lección no fue en vano, y nivel de entrada La resolución de ecuaciones exponenciales se puede considerar dominada con éxito. Los siguientes niveles y más están por venir ecuaciones complejas! Y nuevas técnicas y enfoques. Y ejemplos no estándar. Y nuevas sorpresas.) ¡Todo esto está en la próxima lección!

¿Algo salió mal? Esto significa que lo más probable es que los problemas estén en . O en . O ambas cosas a la vez. Estoy impotente aquí. Una vez más, solo puedo sugerir una cosa: no seas perezoso y sigue los enlaces).

Continuará.)

Equipo:

• computadora,
• proyector multimedia,
• pantalla,
• Apéndice 1(Presentación de diapositivas de PowerPoint) “Métodos para resolver ecuaciones exponenciales”
• Apéndice 2(Resolver una ecuación como “Tres diferentes bases grados” en Word)
• Apéndice 3(folletos en Word para trabajos prácticos).
• Apéndice 4(folleto en Word para la tarea).

Progreso de la lección

1. Etapa organizativa

• mensaje del tema de la lección (escrito en la pizarra),
• la necesidad de una lección general en los grados 10-11:

La etapa de preparación de los estudiantes para el aprendizaje activo.

Repetición

Definición.

Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una variable con un exponente (respuestas del estudiante).

Nota del profesor. Las ecuaciones exponenciales pertenecen a la clase de ecuaciones trascendentales. Este nombre impronunciable sugiere que tales ecuaciones, en general, no pueden resolverse en forma de fórmulas.

Sólo pueden resolverse aproximadamente mediante métodos numéricos en computadoras. Pero ¿qué pasa con las tareas de examen? El truco consiste en que el examinador encuadre el problema de tal manera que permita una solución analítica. En otras palabras, puedes (¡y debes!) realizar transformaciones idénticas que reduzcan esta ecuación exponencial a la ecuación exponencial más simple. Esta ecuación más simple se llama: la ecuación exponencial más simple. esta siendo resuelto por logaritmo.

La situación de resolver una ecuación exponencial recuerda a viajar a través de un laberinto, que fue inventado especialmente por el autor del problema. De estos argumentos tan generales se derivan recomendaciones muy específicas.

Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales debes:

1. No solo conozca activamente todas las identidades exponenciales, sino que también encuentre los conjuntos de valores de variables sobre los cuales se definen estas identidades, de modo que al utilizar estas identidades no adquiera raíces innecesarias y, más aún, no pierda soluciones. a la ecuación.

2. Conocer activamente todas las identidades exponenciales.

3. Realizar de forma clara, detallada y sin errores transformaciones matemáticas de ecuaciones (transferir términos de una parte de la ecuación a otra, sin olvidar cambiar de signo, llevar fracciones a un denominador común, etc.). A esto se le llama cultura matemática. Al mismo tiempo, los cálculos en sí deben realizarse automáticamente a mano y el cabezal debe pensar en el hilo conductor general de la solución. Las transformaciones deben realizarse con el mayor cuidado y detalle posible. Sólo así se garantizará una decisión correcta y sin errores. Y recuerda: pequeño error aritmético puede simplemente crear una ecuación trascendental, que en principio no puede resolverse analíticamente. Resulta que te has perdido y has chocado contra la pared del laberinto.

4. Conocer métodos para resolver problemas (es decir, conocer todos los caminos a través del laberinto de soluciones). Para navegar correctamente en cada etapa, tendrás que (¡consciente o intuitivamente!):

• definir tipo de ecuación;
• recuerda el tipo correspondiente método de solución tareas.

La etapa de generalización y sistematización del material estudiado.

El profesor, junto con los estudiantes utilizando una computadora, realiza una revisión de todo tipo de ecuaciones exponenciales y métodos para resolverlas, compila esquema general. (Entrenamiento usado programa de computadora L.Ya. Borevsky "Curso de Matemáticas - 2000", el autor de la presentación de PowerPoint es T.N. Kuptsova.)

Arroz. 1. La figura muestra un diagrama general de todos los tipos de ecuaciones exponenciales.

Como se puede ver en este diagrama, la estrategia para resolver ecuaciones exponenciales es reducir la ecuación exponencial dada a la ecuación, en primer lugar, con las mismas bases de grados , y luego – y con los mismos indicadores de grado.

Habiendo recibido una ecuación con las mismas bases y exponentes, reemplaza este exponente con una nueva variable y obtiene una ecuación algebraica simple (generalmente fraccionaria-racional o cuadrática) con respecto a esta nueva variable.

Después de resolver esta ecuación y realizar la sustitución inversa, obtendrás un conjunto de ecuaciones exponenciales simples que se pueden resolver en forma general usando logaritmos.

Destacan las ecuaciones en las que sólo se encuentran productos de potencias (parciales). Usando identidades exponenciales, es posible reducir estas ecuaciones inmediatamente a una base, en particular, a la ecuación exponencial más simple.

Veamos cómo resolver una ecuación exponencial con tres bases diferentes.

(Si el profesor tiene un programa informático didáctico de L.Ya. Borevsky "Curso de Matemáticas - 2000", entonces, naturalmente, trabajamos con el disco; si no, se puede imprimir este tipo de ecuación para cada escritorio, presentado a continuación.)

Arroz. 2. Plan para resolver la ecuación.

Arroz. 3. Empieza a resolver la ecuación.

Arroz. 4. Termina de resolver la ecuación.

haciendo trabajo practico

Determina el tipo de ecuación y resuélvela.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Resumiendo la lección

Calificación de la lección.

Fin de la lección

para el maestro

Practica el esquema de respuestas.

Ejercicio: de la lista de ecuaciones, seleccione ecuaciones del tipo especificado (ingrese el número de respuesta en la tabla):

1. Tres bases de grado diferentes
2. Dos bases diferentes - exponentes diferentes
3. Bases de potencias - potencias de un número.
4. Mismas bases – diferentes exponentes
5. Mismas bases de grado – mismos indicadores de grado
6. Producto de poderes
7. Dos bases de grado diferentes: los mismos indicadores
8. Las ecuaciones exponenciales más simples.

1. (producto de potencias)

2. (mismas bases – diferentes exponentes)

Resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Esto es importante.

Aquí tienes ejemplos de ecuaciones exponenciales:

3x2x = 8x+3

¡Prestar atención! En las bases de grados (abajo) - solo numeros. EN indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Si, de repente, aparece una X en la ecuación en algún lugar que no sea un indicador, por ejemplo:

esta ya será una ecuación de tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos de resolver ecuaciones exponenciales en su forma más pura.

De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que consideraremos.

Resolver ecuaciones exponenciales simples.

Primero, resolvamos algo muy básico. Por ejemplo:

Incluso sin ninguna teoría, por simple selección queda claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? Ningún otro valor de X funciona. Ahora veamos la solución a esta complicada ecuación exponencial:

¿Qué hemos hecho? De hecho, simplemente tiramos las mismas bases (triples). Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el clavo!

De hecho, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha idéntico números en cualquier potencia, estos números se pueden eliminar y los exponentes se pueden igualar. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?)

Sin embargo, recordemos firmemente: ¡Puedes eliminar bases solo cuando los números de base a la izquierda y a la derecha estén espléndidamente aislados! Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:

2 x +2 x +1 = 2 3, o

¡Los dos no se pueden eliminar!

Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo pasar de malvadas expresiones exponenciales a ecuaciones más simples.

"¡Esos son los tiempos!" - dices. “¿¡Quién daría una lección tan primitiva sobre pruebas y exámenes!?”

Tengo que estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora sabes hacia dónde apuntar al resolver ejemplos complicados. Es necesario llevarlo al formulario donde esté el mismo número base a la izquierda y a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, este es un clásico de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado. a nosotros mente. Por supuesto, según las reglas de las matemáticas.

Veamos ejemplos que requieren un esfuerzo adicional para reducirlos a lo más simple. llamémoslos ecuaciones exponenciales simples.

Resolver ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.

Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con grados. Sin conocimiento de estas acciones nada funcionará.

A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. ¿Necesitamos los mismos números base? Por eso los buscamos en el ejemplo de forma explícita o cifrada.

Veamos cómo se hace esto en la práctica.

Pongamos un ejemplo:

2 2x - 8x+1 = 0

La primera mirada atenta es hacia jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar eso

Dos y ocho son parientes de grado.) Es muy posible escribir:

8x+1 = (2 3)x+1

Si recordamos la fórmula de operaciones con grados:

(un norte) m = un norte m,

esto funciona genial:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

El ejemplo original empezó a verse así:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie ha cancelado las operaciones elementales de matemáticas!), obtenemos:

2 2x = 2 3(x+1)

Eso es prácticamente todo. Quitando las bases:

Resolvemos este monstruo y obtenemos

Esta es la respuesta correcta.

En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en ocho hay un dos cifrado. ¡Esta técnica (codificar bases comunes bajo diferentes números) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales! Sí, y también en logaritmos. Debes poder reconocer potencias de otros números en los números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.

El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplica, incluso en papel, y listo. Por ejemplo, cualquiera puede elevar 3 a la quinta potencia. 243 funcionará si conoces la tabla de multiplicar.) Pero en ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino viceversa... Descúbrelo qué número en qué grado está escondido detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.

Necesitas conocer las potencias de algunos números de vista, ¿no? ¿Vamos a practicar?

Determina qué potencias y qué números son los números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si miras de cerca puedes ver hecho extraño. ¡Hay muchas más respuestas que tareas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6, 4 3, 8 2, eso es todo 64.

Supongamos que ha tomado nota de la información sobre la familiaridad con los números). Permítame recordarle también que para resolver ecuaciones exponenciales usamos todo acervo de conocimientos matemáticos. Incluidos los de clases junior y media. No fuiste directamente a la escuela secundaria, ¿verdad?)

Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, suele ser útil poner el factor común entre paréntesis (¡hola a séptimo grado!). Veamos un ejemplo:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Y de nuevo, ¡el primer vistazo está en los cimientos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Pero queremos que sean iguales. Pues en este caso el deseo se cumple por completo!) Porque:

9x = (3 2)x = 3 2x

Utilizando las mismas reglas para tratar los títulos:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Eso es genial, puedes escribirlo:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dimos un ejemplo por las mismas razones. ¿¡Y ahora qué!? No se pueden tirar tres... ¿Callejón sin salida?

De nada. Recuerde la regla de decisión más universal y poderosa todos tareas de matemáticas:

Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!

Mira, todo saldrá bien).

¿Qué hay en esta ecuación exponencial? Poder¿hacer? Sí, en el lado izquierdo ¡solo pide que lo saquen de paréntesis! El multiplicador general de 3 2x así lo indica claramente. Probemos y luego veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

¡El ejemplo es cada vez mejor!

Recordemos que para eliminar motivos necesitamos un grado puro, sin ningún coeficiente. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 70 y obtenemos:

¡Ups! ¡Todo mejoró!

Esta es la respuesta final.

Sin embargo, sucede que rodar por los mismos motivos funciona, pero eliminarlos no. Esto sucede en otros tipos de ecuaciones exponenciales. Dominemos este tipo.

Reemplazo de una variable al resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primero, como siempre. Pasemos a una base. A un dos.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Obtenemos la ecuación:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Y aquí es donde nos quedamos. Las técnicas anteriores no funcionarán, se mire como se mire. Tendremos que sacar de nuestro arsenal otro método poderoso y universal. se llama reemplazo de variables.

La esencia del método es sorprendentemente sencilla. En lugar de un icono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!

Así que deja

Entonces 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

En nuestra ecuación reemplazamos todas las potencias con x por t:

Bueno, ¿te estás dando cuenta?) Ecuaciones cuadráticas¿Ya lo has olvidado? Resolviendo por el discriminante obtenemos:

Lo principal aquí es no parar, como sucede... Esta aún no es la respuesta, necesitamos x, no t. Volvamos a las X, es decir. hacemos un reemplazo inverso. Primero para t 1:

Por lo tanto,

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:

Hm... 2 x a la izquierda, 1 a la derecha... ¿Problema? ¡De nada! Basta recordar (de operaciones con grados, sí...) que una unidad es cualquier número elevado a la potencia cero. Cualquier. Lo que sea necesario, lo instalaremos. Necesitamos un dos. Medio:

Eso es todo ahora. Tenemos 2 raíces:

Ésta es la respuesta.

En resolver ecuaciones exponenciales Al final a veces terminas con algún tipo de expresión incómoda. Tipo:

De siete a dos hasta grado simple no funciona. No son parientes... ¿Cómo podemos serlo nosotros? Alguien puede estar confundido... Pero la persona que leyó en este sitio el tema “¿Qué es un logaritmo?” , simplemente sonríe moderadamente y escribe con mano firme la respuesta absolutamente correcta:

No puede haber tal respuesta en las tareas "B" del Examen Estatal Unificado. Allí se requiere un número específico. Pero en las tareas "C" es fácil.

Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos los puntos principales.

Consejos prácticos:

1. En primer lugar, analizamos jardines grados. Nos preguntamos si es posible hacerlos. idéntico. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con grados.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir a potencias!

2. Intentamos llevar la ecuación exponencial a la forma cuando a la izquierda y a la derecha hay idéntico números en cualquier potencia. Usamos acciones con grados Y factorización. Lo que se puede contar en números, lo contamos.

3. Si el segundo consejo no funciona, intente utilizar el reemplazo de variables. El resultado puede ser una ecuación que se pueda resolver fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce al cuadrado.

4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer de vista las potencias de algunos números.

Como de costumbre, al final de la lección se te invita a decidir un poco). Por tu cuenta. De lo simple a lo complejo.

Resolver ecuaciones exponenciales:

Más difícil:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Encuentra el producto de raíces:

2 3 + 2 x = 9

¿Funcionó?

Bueno entonces el ejemplo más complicado(decidido, sin embargo, en la mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

¿Qué es más interesante? Entonces aquí tienes un mal ejemplo. Bastante tentador para mayor dificultad. Permítanme insinuar que en este ejemplo, el ingenio y la mayoría regla universal soluciones a todos los problemas matemáticos).

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un ejemplo más sencillo, para relajarse):

9 2 x - 4 3 x = 0

Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

¡Sí, sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Por qué considerarlos, es necesario resolverlos!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, necesitas ingenio... Y que séptimo grado te ayude (¡esto es una pista!).

Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):

1; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.

¿Está todo bien? Excelente.

¿Algún problema? ¡No hay duda! En la Sección Especial 555, todas estas ecuaciones exponenciales se resuelven con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información adicional valiosa sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No sólo estos.)

Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije ni una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.