EntradaFunciones y sus gráficas. Graficar funciones es uno de los temas más interesantes de las matemáticas escolares.
1. Función lineal fraccionaria y su horario
Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se llama función racional fraccionaria.
con el concepto numeros racionales Probablemente ya se conozcan. Asimismo funciones racionales son funciones que se pueden representar como el cociente de dos polinomios.
Si una función racional fraccionaria es el cociente de dos funciones lineales, polinomios de primer grado, es decir función de la forma
y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama lineal fraccionario.
Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario la la función es constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales excepto x = -d/c. Las gráficas de funciones lineales fraccionarias no difieren en forma de la gráfica y = 1/x que conoces. Una curva que es una gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x disminuye ilimitadamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan a la abscisa: la derecha se acerca desde arriba y la izquierda desde abajo. Las líneas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.
Ejemplo 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Solución.
Seleccionemos la parte completa: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazamiento de 3 segmentos unitarios hacia la derecha, estirándose a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazándose 2 segmentos unitarios hacia arriba.
Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de forma similar, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, de varias maneras desplazado a lo largo de los ejes de coordenadas y estirado a lo largo del eje Oy.
Para construir una gráfica de cualquier función lineal fraccionaria arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas: las asíntotas de la hipérbola x = -d/cy y = a/c.
Ejemplo 2.
Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solución.
La función no está definida, en x = -1. Esto significa que la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se aproximan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.
Para hacer esto, divide el numerador y denominador de la fracción por x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Como x → ∞ la fracción tenderá a 3/2. Esto significa que la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.
Ejemplo 3.
Grafica la función y = (2x + 1)/(x + 1).
Solución.
Seleccionemos la “parte entera” de la fracción:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una visualización simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de 2 segmentos unitarios hacia arriba a lo largo del eje Oy.
Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función aumenta en cada intervalo del dominio de definición.
Respuesta: Figura 1.
2. Función racional fraccionaria
Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado superior al primero.
Ejemplos de tales funciones racionales:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) o y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Si la función y = P(x) / Q(x) representa el cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfica será, por regla general, más compleja y, a veces, puede resultar difícil construirla con precisión. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces basta con utilizar técnicas similares a las que ya hemos presentado anteriormente.
Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы número finito fracciones elementales, cuya forma se determina descomponiendo el denominador de la fracción Q(x) en el producto de factores reales:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.
Trazar gráficas de funciones racionales fraccionarias
Consideremos varias formas de construir gráficas de una función racional fraccionaria.
Ejemplo 4.
Grafique la función y = 1/x 2.
Solución.
Usamos la gráfica de la función y = x 2 para construir una gráfica de y = 1/x 2 y usamos la técnica de “dividir” las gráficas.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rango de valores E(y) = (0; +∞).
No hay puntos de intersección con los ejes. La función es par. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x de 0 a +∞.
Respuesta: Figura 2.
Ejemplo 5.
Grafica la función y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Solución.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.
Respuesta: Figura 3.
Ejemplo 6.
Grafica la función y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Solución.
El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Antes de construir un gráfico, transformemos nuevamente la expresión, resaltando toda la parte:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Tenga en cuenta que aislar la parte entera en la fórmula de una función racional fraccionaria es una de las principales al construir gráficas.
Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir la recta y = 1 es una asíntota horizontal.
Respuesta: Figura 4.
Ejemplo 7.
Consideremos la función y = x/(x 2 + 1) e intentemos encontrar con precisión su valor más grande, es decir lo mas punto álgido mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Obviamente, nuestra curva no puede “subir” muy alto, porque el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, necesitamos resolver la ecuación x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, necesitas averiguar en qué A más grande tendrá solución la ecuación A = x/(x 2 + 1). Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Аx 2 – x + А = 0. Esta ecuación tiene solución cuando 1 – 4А 2 ≥ 0. De aquí encontramos valor más alto Una = 1/2. 
Respuesta: Figura 5, máx y(x) = ½.
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hacha +b
Una función lineal fraccionaria es una función de la forma y = --- ,
cx +d
Dónde incógnita– variable, a,b,do,d– algunos números, y do ≠ 0, anuncio -antes de Cristo ≠ 0.
Propiedades de una función lineal fraccionaria:
La gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola, que se puede obtener a partir de la hipérbola y = k/x usando traslaciones paralelas a lo largo de los ejes de coordenadas. Para ello, se debe representar la fórmula de la función lineal fraccionaria en el siguiente formulario:
k
y = n + ---
x–m
Dónde norte– el número de unidades que la hipérbola se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda, metro– el número de unidades que la hipérbola se mueve hacia arriba o hacia abajo. En este caso, las asíntotas de la hipérbola se desplazan a rectas x = m, y = n.
Una asíntota es una línea recta a la que se acercan los puntos de la curva a medida que se alejan hacia el infinito (ver la figura siguiente).
En cuanto a las transferencias paralelas, consultar los apartados anteriores.
Ejemplo 1. Encontremos las asíntotas de la hipérbola y grafiquemos la función:
incógnita + 8
y = ---
incógnita – 2
Solución:
k
Representemos la fracción como n + ---
x–m
Para esto incógnita+ 8 lo escribimos de la siguiente forma: x – 2 + 10 (es decir, 8 se representa como –2 + 10).
incógnita+ 8x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
incógnita – 2 incógnita – 2 incógnita – 2 incógnita – 2
¿Por qué la expresión tomó esta forma? La respuesta es sencilla: haz la suma (reduciendo ambos términos a un denominador común), y volverás a la expresión anterior. Es decir, este es el resultado de transformar una expresión determinada.
Entonces, obtuvimos todos los valores necesarios:
k = 10, metro = 2, norte = 1.
Así, encontramos las asíntotas de nuestra hipérbola (basándonos en el hecho de que x = m, y = n):
Es decir, una asíntota de la hipérbola corre paralela al eje y a una distancia de 2 unidades a la derecha de él, y la segunda asíntota corre paralela al eje incógnita a una distancia de 1 unidad por encima de él.
Construyamos una gráfica de esta función. Para ello haremos lo siguiente:
1) dibuje en el plano de coordenadas con una línea de puntos las asíntotas: la línea x = 2 y la línea y = 1.
2) dado que la hipérbola consta de dos ramas, para construir estas ramas compilaremos dos tablas: una para x<2, другую для x>2.
Primero, seleccionemos los valores de x para la primera opción (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3
– 2
Elegimos arbitrariamente otros valores. incógnita(por ejemplo -2, -1, 0 y 1). Calcular los valores correspondientes. y. Los resultados de todos los cálculos obtenidos se ingresan en la tabla:
Ahora creemos una tabla para la opción x>2:
Municipal institución educativa
"Promedio Escuela secundaria N° 24"
Trabajo abstracto basado en problemas
sobre álgebra y principios de análisis
Gráficas de funciones racionales fraccionarias.
Alumnos del 11º grado A Natalia Sergeevna Tovchegrechko supervisora de trabajo Valentina Vasilievna Parsheva profesora de matemáticas, profesora de educación superior categoría de calificación
Severodvinsk
Contenido 3Introducción 4Parte principal. Gráficas de funciones fraccionarias-racionales 6 Conclusión 17 Literatura 18Introducción
Trazar gráficas de funciones es una de las los temas más interesantes V matematicas escolares. Uno de los más grandes matemáticos de nuestro tiempo, Israel Moiseevich Gelfand, escribió: “El proceso de construir gráficas es una forma de transformar fórmulas y descripciones en imágenes geométricas. Esta representación gráfica es una forma de ver fórmulas y funciones y ver cómo cambian esas funciones. Por ejemplo, si se escribe y=x 2, inmediatamente verás una parábola; si y=x 2 -4, ves una parábola bajada cuatro unidades; si y=4-x 2, entonces ves la parábola anterior rechazada. Esta capacidad de ver tanto la fórmula como su interpretación geométrica– es importante no sólo para estudiar matemáticas, sino también para otras materias. Es una habilidad que permanece contigo de por vida, como la capacidad de andar en bicicleta, escribir a máquina o conducir un automóvil”. En las lecciones de matemáticas construimos principalmente las gráficas más simples: gráficas de funciones elementales. Sólo en el undécimo grado aprendieron a construir funciones más complejas utilizando derivadas. Al leer libros:- N / A. Virchenko, I.I. Lyashko, K.I. Shvetsov. Directorio. Gráficos de funciones. Kyiv “Naukova Dumka” 1979 V.S. Kramor. Repetimos y sistematizamos el curso escolar de álgebra e inicio del análisis. Moscú “Ilustración” 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Álgebra - 8vo grado. Capítulos adicionales a libro de texto escolar. “Ilustración” de Moscú, 1998 I.M. Gelfand, por ejemplo. Glagoleva, E.E. Shnol. Funciones y gráficas (técnicas básicas). Editorial MCNMO, Moscú 2004 S.M. Nikolski. M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. Álgebra y principios del análisis: libro de texto para el grado 11.
Vi que se pueden construir gráficas de funciones complejas sin usar derivadas, es decir de manera elemental. Por lo tanto, elegí el tema de mi ensayo: "Gráficas de funciones racionales fraccionarias".
Parte principal. Gráficas de funciones racionales fraccionarias.
1. Fraccionada - función lineal y su gráfica
Ya nos hemos familiarizado con una función de la forma y=k/x, donde k≠0, sus propiedades y gráfica. Prestemos atención a una característica de esta función. La función y=k/x sobre un conjunto de números positivos tiene la propiedad de que con un aumento ilimitado de los valores del argumento (cuando x tiende a más infinito), los valores de las funciones, aunque permanecen positivos, tiende a cero. A medida que los valores positivos del argumento disminuyen (cuando x tiende a cero), los valores de la función aumentan sin límite (y tiende a más infinito). Se observa un panorama similar para el conjunto de números negativos. En la gráfica (Fig.1), esta propiedad se expresa en el hecho de que los puntos de la hipérbola, a medida que se alejan al infinito (hacia la derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo) desde el origen de coordenadas, se acercan indefinidamente a la recta. línea: el eje x, cuando │x│ tiende a más infinito, o al eje y cuando │x│ tiende a cero. Esta línea se llama asíntotas de la curva.Arroz. 1
La hipérbola y=k/x tiene dos asíntotas: el eje x y el eje y. El concepto de juegos asíntotas. papel importante al construir gráficas de muchas funciones. Usando las transformaciones de gráficas de funciones que conocemos, podemos mover la hipérbola y=k/x en el plano de coordenadas hacia la derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Como resultado, obtendremos nuevas gráficas de funciones. Ejemplo 1. Sea y=6/x. Desplacemos esta hipérbola hacia la derecha 1,5 unidades y luego desplacemos la gráfica resultante hacia arriba 3,5 unidades. Con esta transformación, las asíntotas de la hipérbola y=6/x también se desplazarán: el eje x pasará a la recta y=3,5, el eje y a la recta y=1,5 (Fig. 2). La función cuya gráfica hemos trazado se puede especificar mediante la fórmula
.
Representemos la expresión del lado derecho de esta fórmula como una fracción:
Esto significa que la Figura 2 muestra una gráfica de la función dada por la fórmula
.
Esta fracción tiene un numerador y denominador que son binomios lineales con respecto a x. Estas funciones se denominan funciones lineales fraccionarias.
, Dónde x es una variable, a,b, do, d– números dados, con c≠0 y
antes de Cristo- anuncio≠0 se llama función lineal fraccionaria. Tenga en cuenta que el requisito en la definición de que c≠0 y
bc-ad≠0, significativo. Con c=0 y d≠0 o con bc-ad=0 obtenemos función lineal. De hecho, si c=0 y d≠0, entonces
.
Si bc-ad=0, c≠0, expresando b a partir de esta igualdad mediante a, cyd y sustituyéndolo en la fórmula, obtenemos:
Entonces, en el primer caso obtuvimos una función lineal vista general 
, en el segundo caso – una constante 
. Veamos ahora cómo trazar una función fraccionaria lineal si está dada por una fórmula de la forma 
Ejemplo 2. Trazamos la función 
, es decir. presentémoslo en la forma 
: seleccionamos la parte entera de la fracción, dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos:
Entonces, 
. Vemos que la gráfica de esta función se puede obtener a partir de la gráfica de la función y=5/x usando dos desplazamientos sucesivos: desplazando la hipérbola y=5/x hacia la derecha 3 unidades, y luego desplazando la hipérbola resultante 
hacia arriba en 2 unidades Con estos desplazamientos, las asíntotas de la hipérbola y = 5/x también se moverán: el eje x 2 unidades hacia arriba y el eje y 3 unidades hacia la derecha. Para construir una gráfica, dibujamos las asíntotas en el plano coordenado con una línea de puntos: recta y=2 y recta x=3. Como la hipérbola consta de dos ramas, para construir cada una de ellas componeremos dos tablas: una para x<3, а другую для x>3 (es decir, la primera está a la izquierda del punto de intersección de las asíntotas, y la segunda está a la derecha del mismo):
me gusta cualquier fraccion 
se puede escribir de forma similar, destacando toda su parte. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, desplazadas en paralelo de varias maneras. ejes de coordenadas y estirado a lo largo del eje Oy.
Ejemplo 3.
Trazamos la función 
.Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, basta con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas (asíntotas), y algunos puntos más. Encontremos primero la asíntota vertical. La función no está definida donde 2x+2=0, es decir en x=-1. Por tanto, la asíntota vertical es la recta x = -1. Para encontrar la asíntota horizontal, debes observar a qué se aproximan los valores de la función cuando el argumento aumenta (en valor absoluto), los segundos términos en el numerador y denominador de la fracción. 
relativamente pequeño. Es por eso
.
Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y=3/2. Determinemos los puntos de intersección de nuestra hipérbola con los ejes de coordenadas. En x=0 tenemos y=5/2. La función es igual a cero cuando 3x+5=0, es decir en x = -5/3 Habiendo marcado los puntos (-5/3;0) y (0;5/2) en el dibujo y dibujando las asíntotas horizontales y verticales encontradas, construiremos una gráfica (Fig.4). .
En general, para encontrar la asíntota horizontal, es necesario dividir el numerador por el denominador, entonces y=3/2+1/(x+1), y=3/2 es la asíntota horizontal.
2. Función racional fraccionaria
Considere la función racional fraccionaria
,
En el que el numerador y denominador son polinomios de n-ésimo y mesésimo grado. Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:
Donde k 1 ... k s son las raíces del polinomio Q (x), que tienen, respectivamente, multiplicidades m 1 ... m s, y los trinomios corresponden a pares de conjugación de raíces complejas Q (x) de multiplicidad m 1 .. m t fracciones de la forma
Llamado fracciones racionales elementales los tipos primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Aquí A, B, C, k – números reales; m y m - números naturales, m, m>1; un trinomio con coeficientes reales x 2 +px+q tiene raíces imaginarias Obviamente, la gráfica de una función fraccionaria-racional se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales. Gráfica de una función
Obtenemos de la gráfica de la función 1/x m (m~1, 2, ...) usando traslación paralela a lo largo del eje de abscisas en │k│ unidades de escala hacia la derecha. Gráfica de una función de la forma
Es fácil de construir si seleccionas un cuadrado completo en el denominador y luego realizas la formación correspondiente de la gráfica de la función 1/x 2. Graficar una función
Todo se reduce a construir el producto de gráficas de dos funciones:
y= bx+ do Y
Comentario. Graficar una función
Dónde a db c
0
, 
,
donde norte - número natural, puede ser realizado por esquema general investigar una función y trazar una gráfica en algunos ejemplos específicos Puede construir con éxito un gráfico realizando las transformaciones de gráfico adecuadas; mejor manera dar métodos de matemáticas superiores. Ejemplo 1. Grafica la función
.
Habiendo aislado toda la parte, tenemos
.
Fracción 
Representémoslo como una suma de fracciones elementales:
.
Construyamos gráficas de funciones:
Después de sumar estas gráficas, obtenemos una gráfica de la función dada:
Las figuras 6, 7, 8 presentan ejemplos de construcción de gráficos de funciones. 
Y 
. Ejemplo 2. Graficar una función 
:
(1); 
(2); 
(3); (4)
: 
(1); 
(2); 
(3); (4)
Conclusión
Al realizar trabajos abstractos: - aclaró sus conceptos de funciones fraccionarias-lineales y fraccionarias-racionales: Definición 1. Una función fraccionaria lineal es una función de la forma , donde x es una variable, a, b, cyd reciben números, con c≠0 y bc-ad≠0. Definición 2. Una función racional fraccionaria es una función de la formadonde norte Creó un algoritmo para trazar gráficas de estas funciones; Adquirió experiencia en el trazado de funciones como: Aprendí a trabajar con literatura y materiales adicionales, a seleccionar información científica; adquirí experiencia en la realización de trabajos gráficos en una computadora; aprendí a escribir trabajos abstractos basados en problemas; Anotación. En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y especulaciones sobre la autopista de la información y la próxima era de la tecnología. En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y especulaciones sobre la autopista de la información y la próxima era de la tecnología. Esta colección es el quinto número preparado por el equipo del Laboratorio-Gimnasio Pedagógico de la ciudad de Moscú No. 1505 con el apoyo de……. El artículo intenta una comparación a gran escala de diferentes enfoques de la relación entre matemáticas y experiencia, que se han desarrollado principalmente dentro del marco del apriorismo y el empirismo. En esta lección veremos la función lineal fraccionaria, resolveremos problemas usando la función lineal fraccionaria, módulo y parámetro. Tema: repetición Lección: Función lineal fraccionaria Definición: Una función de la forma: Por ejemplo: Demostremos que la gráfica de esta función fraccionaria lineal es una hipérbola. Saquemos los dos entre paréntesis en el numerador y obtengamos: Tenemos x tanto en el numerador como en el denominador. Ahora transformamos para que aparezca la expresión en el numerador: Ahora reduzcamos la fracción término a término: Obviamente, la gráfica de esta función es una hipérbola. Podemos proponer un segundo método de prueba, es decir, dividir el numerador por el denominador en una columna: Recibió: Es importante poder construir fácilmente una gráfica de una función fraccionaria lineal, en particular, para encontrar el centro de simetría de una hipérbola. Resolvamos el problema. Ejemplo 1: dibuja la gráfica de una función: Ya convertimos esta función y obtuvimos: Para construir esta gráfica, no desplazaremos los ejes ni la hipérbola misma. Usamos un método estándar para construir gráficas de funciones, utilizando la presencia de intervalos de signo constante. Actuamos según el algoritmo. Primero, examinemos la función dada. Así, tenemos tres intervalos de signo constante: en el extremo derecho () la función tiene un signo más, luego los signos se alternan, ya que todas las raíces tienen primer grado. Entonces, en un intervalo la función es negativa, en un intervalo la función es positiva. Construimos un boceto del gráfico en las proximidades de las raíces y puntos de ruptura de la ODZ. Tenemos: como en un punto el signo de la función cambia de más a menos, la curva primero está encima del eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. Cuando el denominador de una fracción es prácticamente igual a cero, significa que cuando el valor del argumento tiende a tres, el valor de la fracción tiende al infinito. En este caso, cuando el argumento se acerca al triple por la izquierda, la función es negativa y tiende a menos infinito, por la derecha la función es positiva y sale de más infinito. Ahora construimos un boceto de la gráfica de la función en las proximidades de puntos en el infinito, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, se pueden despreciar los términos constantes. Tenemos: Así, tenemos una asíntota horizontal y otra vertical, el centro de la hipérbola es el punto (3;2). Ilustremos: Arroz. 1. Gráfica de una hipérbola por ejemplo 1 Los problemas con una función lineal fraccionaria pueden complicarse por la presencia de un módulo o parámetro. Para construir, por ejemplo, una gráfica de la función, debes seguir el siguiente algoritmo: Arroz. 2. Ilustración del algoritmo. El gráfico resultante tiene ramas que están por encima del eje x y por debajo del eje x. 1. Aplique el módulo especificado. En este caso, las partes del gráfico ubicadas sobre el eje x permanecen sin cambios y las ubicadas debajo del eje se reflejan en relación con el eje x. Obtenemos: Arroz. 3. Ilustración del algoritmo. Ejemplo 2: trazar una función: Arroz. 4. Gráfico de funciones, por ejemplo 2. Considere la siguiente tarea: construya una gráfica de la función. Para hacer esto, debes seguir el siguiente algoritmo: 1. Grafica la función submodular Supongamos que obtenemos el siguiente gráfico: Arroz. 5. Ilustración del algoritmo. 1. Aplique el módulo especificado. Para entender cómo hacer esto, ampliemos el módulo. Por lo tanto, para valores de función con valores de argumento no negativos, no se producirán cambios. Con respecto a la segunda ecuación, sabemos que se obtiene mapeándola simétricamente con respecto al eje y. tenemos una gráfica de la función: Arroz. 6. Ilustración del algoritmo. Ejemplo 3: trazar una función: Según el algoritmo, primero es necesario construir una gráfica de la función submodular, ya la hemos construido (ver Figura 1) Arroz. 7. Gráfica de una función por ejemplo 3 Ejemplo 4: encuentre el número de raíces de una ecuación con un parámetro: Recuerde que resolver una ecuación con un parámetro significa recorrer todos los valores del parámetro e indicar la respuesta para cada uno de ellos. Actuamos según la metodología. Primero, construimos una gráfica de la función, ya lo hicimos en el ejemplo anterior (ver Figura 7). A continuación, debes diseccionar la gráfica con una familia de rectas para diferente a, encontrar los puntos de intersección y escribir la respuesta. Mirando el gráfico, escribimos la respuesta: cuando y la ecuación tiene dos soluciones; cuando la ecuación tiene una solución; cuando la ecuación no tiene soluciones. Consideremos las cuestiones de metodología para estudiar un tema como "construir una gráfica de una función lineal fraccionaria". Lamentablemente, su estudio ha sido eliminado del programa básico y el tutor de matemáticas en sus clases no lo toca con tanta frecuencia como nos gustaría. Sin embargo, nadie ha cancelado todavía las clases de matemáticas, ni tampoco la segunda parte del GIA. Y en el Examen Estatal Unificado existe la posibilidad de su penetración en el cuerpo de la tarea C5 (a través de parámetros). Por lo tanto, tendrás que arremangarte y trabajar el método para explicarlo en una lección con un alumno medio o moderadamente fuerte. Como regla general, un tutor de matemáticas desarrolla métodos de explicación de las secciones principales del plan de estudios escolar durante los primeros 5 a 7 años de trabajo. Durante este tiempo, decenas de alumnos de diversas categorías logran pasar por los ojos y las manos del tutor. Desde niños abandonados y naturalmente débiles, desertores y ausentes hasta talentos decididos. Con el tiempo, un tutor de matemáticas desarrolla la habilidad de explicar conceptos complejos en un lenguaje sencillo sin sacrificar la integridad y precisión matemática. Se desarrolla un estilo individual de presentación de material, habla, acompañamiento visual y grabación. Cualquier tutor experimentado contará la lección con los ojos cerrados, porque sabe de antemano qué problemas surgen al comprender el material y qué se necesita para resolverlos. Es importante elegir las palabras y notas adecuadas, ejemplos para el comienzo, la mitad y el final de la lección, así como redactar correctamente los ejercicios para la tarea. En este artículo se analizarán algunas técnicas particulares para trabajar con el tema. Es necesario comenzar por definir el concepto que se está estudiando. Déjame recordarte que una función lineal fraccionaria es una función de la forma . Su construcción se reduce a construir. la hipérbole más común utilizando técnicas simples y conocidas para transformar gráficos. Entonces, al tutor no le queda nada más conveniente y efectivo que prepararse para las transformaciones usando la raíz cuadrada. Necesitas práctica para construir gráficas de algo como esto. Consideremos que esta preparación fue un gran éxito. El niño puede mover e incluso comprimir/estirar gráficos. ¿Qué sigue? La siguiente etapa es aprender a aislar una parte completa. Quizás esta sea la tarea principal de un tutor de matemáticas, porque una vez asignada toda la parte, asume la mayor parte de toda la carga computacional sobre el tema. Es extremadamente importante preparar la función de una forma que se ajuste a uno de los esquemas de construcción estándar. También es importante describir la lógica de las transformaciones de una manera accesible, comprensible y, por otro lado, matemáticamente precisa y armoniosa. Déjame recordarte que para construir una gráfica necesitas convertir la fracción a la forma. Para hacer esto, además de seleccionar la parte entera, también necesitas quitar el coeficiente del denominador. do. ¿Cómo enseñar a resaltar una parte entera? Los profesores de matemáticas no siempre evalúan adecuadamente el nivel de conocimientos de los estudiantes y, a pesar de la ausencia en el programa de un estudio detallado del teorema de división de polinomios con resto, aplican la regla de la división por una esquina. Si un profesor se dedica a la división de las esquinas, tendrá que dedicar casi la mitad de la lección a explicarla (si, por supuesto, todo está cuidadosamente justificado). Lamentablemente, el tutor no siempre dispone de este tiempo. Es mejor no recordar ningún rincón. Hay dos formas de trabajar con un estudiante: La implementación del segundo camino me parece el más interesante para la práctica de tutoría y sumamente útil. desarrollar el pensamiento de los estudiantes. Con la ayuda de ciertos consejos e instrucciones, a menudo es posible descubrir una determinada secuencia de pasos correctos. A diferencia de la ejecución mecánica de un plan elaborado por alguien, un alumno de noveno grado aprende a buscarlo de forma independiente. Naturalmente, todas las explicaciones deben hacerse con ejemplos. Para ello, tomemos una función y consideremos los comentarios del tutor sobre la lógica de búsqueda del algoritmo. Un tutor de matemáticas pregunta: “¿Qué nos impide realizar una transformación gráfica estándar utilizando un desplazamiento a lo largo de los ejes? Por supuesto, la presencia simultánea de X tanto en el numerador como en el denominador. Esto significa que debe eliminarse del numerador. ¿Cómo hacer esto usando transformaciones de identidad? Sólo hay una forma: reducir la fracción. Pero no tenemos factores iguales (paréntesis). Esto significa que debemos intentar crearlos artificialmente. ¿Pero cómo? No puedes reemplazar el numerador con el denominador sin una transición idéntica. Intentemos transformar el numerador para que incluya un paréntesis igual al denominador. Pongámoslo ahí a la fuerza y “superponer” con coeficientes para que al “actuar” sobre el bracket, es decir, al abrirlo y sumar términos semejantes, se obtuviera un polinomio lineal 2x+3. Sigamos adelante. El profesor abre el paréntesis y firma el resultado directamente encima. A continuación, la fracción se descompone en la suma de fracciones individuales (normalmente encierro en un círculo las fracciones con una nube, comparando su disposición con las alas de una mariposa). Y yo digo: “Rompamos la fracción con una mariposa”. Los escolares recuerdan bien esta frase. El tutor de matemáticas muestra todo el proceso de aislar una parte completa en una forma a la que ya se puede aplicar el algoritmo de desplazamiento de hipérbola: Si el denominador tiene un coeficiente principal que no es igual a uno, en ningún caso debes dejarlo allí. Esto supondrá tanto para el tutor como para el alumno un dolor de cabeza extra asociado a la necesidad de realizar una transformación adicional, y la más difícil: compresión - estiramiento. Para la construcción esquemática de una gráfica de proporcionalidad directa, el tipo de numerador no es importante. Lo principal es conocer su signo. Entonces es mejor transferirle el coeficiente más alto del denominador. Por ejemplo, si trabajamos con la función Si aparece un “menos” entre la parte entera 2 y la fracción restante, también es mejor incluirlo en el numerador. De lo contrario, en una determinada etapa de la construcción, deberá mostrar adicionalmente la hipérbola con respecto al eje Oy. Esto sólo complicará el proceso. La regla de oro de un tutor de matemáticas: Es difícil describir técnicas para trabajar con cualquier tema. Siempre hay una sensación de subestimación. Depende de usted juzgar hasta qué punto pudimos hablar de una función lineal fraccionaria. Envía tus comentarios y reseñas al artículo (pueden escribirse en el cuadro que ves al final de la página). Definitivamente los publicaré. Kolpakov A.N. Tutor de matemáticas en Moscú. Estrogino. Métodos para tutores.
;Los cursos optativos son una de las formas de organización de las actividades educativas, cognitivas y de investigación educativa de los estudiantes de secundaria.
DocumentoMatemáticas y experiencia.
Libro
¿Con qué gráficos comienza un tutor de matemáticas?
En la práctica, resultan sencillos sólo para el propio tutor. Incluso si un estudiante fuerte llega al maestro, con suficiente velocidad de cálculos y transformaciones, todavía tiene que enseñar estas técnicas por separado. ¿Por qué? En la escuela de noveno grado, los gráficos se construyen únicamente mediante desplazamiento y no utilizan métodos de suma de multiplicadores numéricos (métodos de compresión y estiramiento). ¿Qué gráfica utiliza un tutor de matemáticas? 
¿Cuál es el mejor lugar para empezar? Toda la preparación se lleva a cabo utilizando el ejemplo de la función más conveniente, en mi opinión. 
. ¿Qué más debo usar? La trigonometría en el noveno grado se estudia sin gráficos (y en los libros de texto modificados para adaptarse a las condiciones del Examen Estatal de Matemáticas, no se enseñan en absoluto). La función cuadrática no tiene el mismo “peso metodológico” en este tema que la raíz. ¿Por qué? En noveno grado se estudia en detalle el trinomio cuadrático y el alumno es bastante capaz de resolver problemas de construcción sin turnos. La forma evoca instantáneamente un reflejo de abrir los paréntesis, después de lo cual se puede aplicar la regla del trazado estándar a través del vértice de una parábola y una tabla de valores. Con tal maniobra no será posible realizarla y será más fácil para un tutor de matemáticas motivar al alumno a aprender técnicas generales de transformación. Usando el módulo y=|x| Tampoco se justifica, porque no se estudia tan de cerca como la raíz y los escolares le tienen mucho miedo. 
Además, el módulo en sí (más precisamente, su "colgado") está incluido en el número de transformaciones en estudio.
. Precisamente por esto, y no por 
, manteniendo el denominador. ¿Por qué? Es difícil realizar transformaciones en un gráfico que no sólo consta de piezas, sino que también tiene asíntotas. La continuidad se utiliza para conectar dos o tres puntos más o menos claramente movidos con una línea. En el caso de una función discontinua, no se puede determinar inmediatamente qué puntos conectar. Por lo tanto, comprimir o estirar una hipérbole es extremadamente inconveniente. Un tutor de matemáticas simplemente está obligado a enseñarle a un estudiante cómo arreglárselas solo con los turnos.Seleccionar la parte entera de una fracción
1) El tutor le muestra un algoritmo ya preparado utilizando algún ejemplo de función fraccionaria.
2) El docente crea las condiciones para una búsqueda lógica de este algoritmo.
El tutor de matemáticas inserta espacios para los coeficientes en forma de rectángulos vacíos (como suelen utilizar los libros de texto para los grados 5 y 6) y establece la tarea de llenarlos con números. La selección debe realizarse de izquierda a derecha, a partir del primer pase. El alumno debe imaginar cómo abrirá el corchete. Dado que su expansión dará como resultado un solo término con X, entonces su coeficiente debe ser igual al coeficiente más alto en el antiguo numerador 2x+3. Por tanto, es obvio que el primer cuadrado contiene el número 2. Está lleno. Un tutor de matemáticas debería tomar una función lineal fraccionaria bastante simple con c=1. Sólo después de esto podremos pasar a analizar ejemplos con una apariencia desagradable del numerador y denominador (incluidos los coeficientes fraccionarios).
Puedes sombrear el par de factores correspondiente. Al “término abierto”, es necesario sumar dicho número del segundo espacio para obtener el coeficiente libre del antiguo numerador. Obviamente es un 7.
, luego simplemente sacamos 3 del paréntesis y lo “elevamos” al numerador, construyendo una fracción en él. Obtenemos una expresión mucho más conveniente para la construcción: todo lo que queda es moverlo hacia la derecha y 2 hacia arriba.
todos los coeficientes inconvenientes que conducen a simetrías, compresión o estiramiento del gráfico deben transferirse al numerador.