Discriminante. Solución, ejemplos. Ecuaciones cuadráticas. La guía completa (2019)

En la sociedad moderna, la capacidad de realizar operaciones con ecuaciones que contienen una variable al cuadrado puede resultar útil en muchas áreas de actividad y se utiliza ampliamente en la práctica en el desarrollo científico y técnico. Prueba de ello son los diseños de embarcaciones marítimas y fluviales, aviones y cohetes. Con la ayuda de tales cálculos se determinan las trayectorias de movimiento de una amplia variedad de cuerpos, incluidos los objetos espaciales. Los ejemplos con solución de ecuaciones cuadráticas se utilizan no solo en la previsión económica, en el diseño y construcción de edificios, sino también en las circunstancias cotidianas más comunes. Pueden ser necesarios en excursiones de senderismo, en eventos deportivos, en las tiendas a la hora de realizar compras y en otras situaciones muy habituales.

Dividamos la expresión en sus factores componentes.

El grado de una ecuación está determinado por el valor máximo del grado de la variable que contiene la expresión. Si es igual a 2, entonces dicha ecuación se llama cuadrática.

Si hablamos en el lenguaje de las fórmulas, entonces las expresiones indicadas, sin importar cómo se vean, siempre pueden adoptar la forma cuando el lado izquierdo de la expresión consta de tres términos. Entre ellos: ax 2 (es decir, una variable al cuadrado con su coeficiente), bx (una incógnita sin cuadrado con su coeficiente) y c (un componente libre, es decir, un número ordinario). Todo esto en el lado derecho es igual a 0. En el caso de que a dicho polinomio le falte uno de sus términos constituyentes, con excepción de ax 2, se le llama ecuación cuadrática incompleta. Primero se deben considerar ejemplos con la solución de tales problemas, cuyos valores de las variables son fáciles de encontrar.

Si parece que la expresión tiene dos términos en el lado derecho, más precisamente ax 2 y bx, la forma más fácil de encontrar x es poniendo la variable entre paréntesis. Ahora nuestra ecuación se verá así: x(ax+b). A continuación, resulta obvio que x=0 o el problema se reduce a encontrar una variable a partir de la siguiente expresión: ax+b=0. Esto viene dictado por una de las propiedades de la multiplicación. La regla establece que el producto de dos factores da como resultado 0 sólo si uno de ellos es cero.

Ejemplo

x=0 o 8x - 3 = 0

Como resultado, obtenemos dos raíces de la ecuación: 0 y 0,375.

Ecuaciones de este tipo pueden describir el movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad, que comenzaron a moverse desde un determinado punto tomado como origen de coordenadas. Aquí la notación matemática toma la siguiente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sustituyendo los valores necesarios, igualando el lado derecho a 0 y encontrando posibles incógnitas, puedes averiguar el tiempo que pasa desde que el cuerpo sube hasta que cae, así como muchas otras cantidades. Pero hablaremos de esto más tarde.

Factorizar una expresión

La regla descrita anteriormente permite resolver estos problemas en casos más complejos. Veamos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas de este tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Este trinomio cuadrático está completo. Primero, transformemos la expresión y factoricémosla. Hay dos: (x-8) y (x-25) = 0. Como resultado, tenemos dos raíces 8 y 25.

Los ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas en el noveno grado permiten que este método encuentre una variable en expresiones no solo de segundo, sino incluso de tercer y cuarto orden.

Por ejemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Al factorizar el lado derecho en factores con una variable, hay tres, es decir, (x+1), (x-3) y (x+ 3).

Como resultado, resulta obvio que esta ecuación tiene tres raíces: -3; -1; 3.

Raíz cuadrada

Otro caso de ecuación de segundo orden incompleta es una expresión representada en el lenguaje de las letras de tal manera que el lado derecho se construye a partir de los componentes ax 2 y c. Aquí, para obtener el valor de la variable, el término libre se transfiere al lado derecho, y luego se extrae la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad. Cabe señalar que en este caso suele haber dos raíces de la ecuación. Las únicas excepciones pueden ser las igualdades que no contienen ningún término con, donde la variable es igual a cero, así como variantes de expresiones cuando el lado derecho es negativo. En este último caso, no hay solución alguna, ya que las acciones anteriores no se pueden realizar con raíces. Deben considerarse ejemplos de soluciones a ecuaciones cuadráticas de este tipo.

En este caso, las raíces de la ecuación serán los números -4 y 4.

Cálculo de la superficie terrestre.

La necesidad de este tipo de cálculos apareció en la antigüedad, porque el desarrollo de las matemáticas en aquellos tiempos lejanos estuvo determinado en gran medida por la necesidad de determinar con la mayor precisión las áreas y perímetros de las parcelas de tierra.

También deberíamos considerar ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas basadas en problemas de este tipo.

Entonces, digamos que hay un terreno rectangular, cuya longitud es 16 metros mayor que su ancho. Debes encontrar el largo, ancho y perímetro del sitio si sabes que su área es 612 m 2.

Para comenzar, primero creemos la ecuación necesaria. Denotemos por x el ancho del área, luego su longitud será (x+16). De lo escrito se deduce que el área está determinada por la expresión x(x+16), que, según las condiciones de nuestro problema, es 612. Esto significa que x(x+16) = 612.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas, y esta expresión es exactamente eso, no se puede hacer de la misma manera. ¿Por qué? Aunque el lado izquierdo todavía contiene dos factores, su producto no es igual a 0 en absoluto, por lo que aquí se utilizan métodos diferentes.

discriminante

En primer lugar, haremos las transformaciones necesarias, luego la apariencia de esta expresión se verá así: x 2 + 16x - 612 = 0. Esto significa que hemos recibido la expresión en una forma correspondiente al estándar especificado anteriormente, donde a=1, b=16, c= -612.

Este podría ser un ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas usando un discriminante. Aquí se realizan los cálculos necesarios según el esquema: D = b 2 - 4ac. Esta cantidad auxiliar no sólo permite encontrar las cantidades requeridas en una ecuación de segundo orden, sino que también determina el número de opciones posibles. Si D>0, hay dos; para D=0 hay una raíz. En el caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre las raíces y su fórmula.

En nuestro caso, el discriminante es igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Esto sugiere que nuestro problema tiene respuesta. Si conoce k, la solución de ecuaciones cuadráticas debe continuar usando la siguiente fórmula. Te permite calcular las raíces.

Esto significa que en el caso presentado: x 1 =18, x 2 =-34. La segunda opción en este dilema no puede ser una solución, porque las dimensiones del terreno no se pueden medir en cantidades negativas, lo que significa que x (es decir, el ancho del terreno) es 18 m. De aquí calculamos la longitud: 18. +16=34, y el perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Ejemplos y tareas

Continuamos nuestro estudio de ecuaciones cuadráticas. A continuación se darán ejemplos y soluciones detalladas de varios de ellos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Movamos todo al lado izquierdo de la igualdad, hacemos una transformación, es decir, obtenemos el tipo de ecuación que generalmente se llama estándar y la igualamos a cero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sumando similares, determinamos el discriminante: D = 49 - 48 = 1. Esto significa que nuestra ecuación tendrá dos raíces. Calculémoslos según la fórmula anterior, lo que significa que el primero de ellos será igual a 4/3 y el segundo a 1.

2) Ahora resolvamos acertijos de otro tipo.

Averigüemos si hay raíces aquí x 2 - 4x + 5 = 1. Para obtener una respuesta completa, reduzcamos el polinomio a la forma habitual correspondiente y calculemos el discriminante. En el ejemplo anterior, no es necesario resolver la ecuación cuadrática, porque ésta no es la esencia del problema en absoluto. En este caso, D = 16 - 20 = -4, lo que significa que realmente no hay raíces.

teorema de vieta

Es conveniente resolver ecuaciones cuadráticas utilizando las fórmulas anteriores y el discriminante, cuando la raíz cuadrada se toma del valor de este último. Pero esto no siempre sucede. Sin embargo, existen muchas formas de obtener los valores de las variables en este caso. Ejemplo: resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta. Lleva el nombre de alguien que vivió en la Francia del siglo XVI e hizo una brillante carrera gracias a su talento matemático y sus conexiones en la corte. Su retrato se puede ver en el artículo.

El patrón que notó el famoso francés fue el siguiente. Demostró que las raíces de la ecuación suman numéricamente -p=b/a, y su producto corresponde a q=c/a.

Ahora veamos tareas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, transformemos la expresión:

x2 + 7x - 18 = 0

Usemos el teorema de Vieta, esto nos dará lo siguiente: la suma de las raíces es -7 y su producto es -18. De aquí obtenemos que las raíces de la ecuación son los números -9 y 2. Después de verificar, nos aseguraremos de que estos valores de variables realmente encajen en la expresión.

Gráfico de parábola y ecuación.

Los conceptos de función cuadrática y ecuaciones cuadráticas están estrechamente relacionados. Ya se han dado ejemplos de esto anteriormente. Ahora veamos algunos acertijos matemáticos con un poco más de detalle. Cualquier ecuación del tipo descrito se puede representar visualmente. Esta relación, dibujada en forma de gráfica, se llama parábola. Sus distintos tipos se presentan en la siguiente figura.

Toda parábola tiene un vértice, es decir, un punto del que emergen sus ramas. Si a>0, aumentan hasta el infinito, y cuando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Las representaciones visuales de funciones ayudan a resolver cualquier ecuación, incluidas las cuadráticas. Este método se llama gráfico. Y el valor de la variable x es la coordenada de abscisas en los puntos donde la línea gráfica se cruza con 0x. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando la fórmula que se acaba de dar x 0 = -b/2a. Y sustituyendo el valor resultante en la ecuación original de la función, puedes encontrar y 0, es decir, la segunda coordenada del vértice de la parábola, que pertenece al eje de ordenadas.

La intersección de las ramas de una parábola con el eje de abscisas.

Hay muchos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas, pero también hay patrones generales. Mirémoslos. Está claro que la intersección de la gráfica con el eje 0x para a>0 sólo es posible si 0 toma valores negativos. y por un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. De lo contrario D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir de la gráfica de la parábola también puedes determinar las raíces. Lo contrario también es cierto. Es decir, si no es fácil obtener una representación visual de una función cuadrática, puedes igualar el lado derecho de la expresión a 0 y resolver la ecuación resultante. Y conociendo los puntos de intersección con el eje 0x, es más fácil construir una gráfica.

De la historia

Utilizando ecuaciones que contienen una variable al cuadrado, antiguamente no sólo hacían cálculos matemáticos y determinaban las áreas de figuras geométricas. Los antiguos necesitaban estos cálculos para grandes descubrimientos en los campos de la física y la astronomía, así como para hacer pronósticos astrológicos.

Como sugieren los científicos modernos, los habitantes de Babilonia estuvieron entre los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió cuatro siglos antes de nuestra era. Por supuesto, sus cálculos eran radicalmente diferentes de los aceptados actualmente y resultaron mucho más primitivos. Por ejemplo, los matemáticos mesopotámicos no tenían idea de la existencia de números negativos. Tampoco estaban familiarizados con otras sutilezas que cualquier escolar moderno conoce.

Quizás incluso antes que los científicos de Babilonia, el sabio indio Baudhayama comenzó a resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió unos ocho siglos antes de la era de Cristo. Es cierto que las ecuaciones de segundo orden, cuyos métodos de resolución dio, eran las más simples. Además de él, antiguamente también los matemáticos chinos se interesaban por cuestiones similares. En Europa, las ecuaciones cuadráticas comenzaron a resolverse solo a principios del siglo XIII, pero luego fueron utilizadas en sus trabajos por grandes científicos como Newton, Descartes y muchos otros.

trabajemos con ecuaciones cuadráticas. ¡Estas son ecuaciones muy populares! En su forma más general, una ecuación cuadrática se ve así:

Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; do = -4

Aquí A =2; b = -0,5; do = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; do = -18

Bueno, entiendes...

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? Si tienes una ecuación cuadrática frente a ti en esta forma, entonces todo es simple. Recuerda la palabra mágica discriminante . ¡Es raro que un estudiante de secundaria no haya escuchado esta palabra! La frase “resolvemos mediante un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar. Entonces, la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo de la raíz es la que discriminante. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Esta es la fórmula que calculamos. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, para la primera ecuación A =1; b = 3; do= -4. Aquí lo anotamos:

El ejemplo está casi resuelto:

Eso es todo.

¿Qué casos son posibles al utilizar esta fórmula? Sólo hay tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero esto juega un papel en las desigualdades, donde estudiaremos el tema con más detalle.

3. El discriminante es negativo. No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Ah, bueno. Esto significa que no hay soluciones.

Es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?
Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, haz eso!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; segundo = -5; c = -1

Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y la cantidad de errores. disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Probar. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordamos. O aprendieron, lo cual también es bueno. Sabes determinar correctamente. a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. Entiendes que la palabra clave aquí es ¿atentamente?

Sin embargo, las ecuaciones cuadráticas suelen verse ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

Este ecuaciones cuadráticas incompletas . También se pueden resolver mediante un discriminante. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. a, b y c.

¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; A do? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. En su lugar, sustituye cero en la fórmula. do, y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. Con, A b !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin discriminación alguna. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.

¿Y qué hay de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces crea dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo...
Por lo tanto, podemos escribir con seguridad: x = 0, o x = 4

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar un discriminante.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:

Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará:

También dos raíces . x = +3 y x = -3.

Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...

Primera cita. No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.

Recepción segunda.¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te asustes, te lo explicaré todo! De cheques último ecuación. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo . Si no funciona, significa que ya te has equivocado en alguna parte. Busque el error. Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser b Con opuesto familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto!
Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Cada vez habrá menos errores.

Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por un denominador común como se describe en la sección anterior. Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...

Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está.

Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!

Entonces, resumamos el tema.

Consejos prácticos:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones contienen necesariamente fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.

¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy sencillo. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Déjame explicarte con un ejemplo. Supongamos que necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo te enseñaron en la escuela primaria? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer al sumar o restar fracciones. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:

Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal ecuación:

¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:

Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!

Ahora abramos los corchetes:

Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:

Ecuación cuadrática clásica. Pero el inconveniente que tenemos por delante no es bueno. Siempre puedes deshacerte de él multiplicando o dividiendo por -1. Pero si observas de cerca el ejemplo, notarás que es mejor dividir esta ecuación por -2. ¡De una sola vez, el inconveniente desaparecerá y las probabilidades se volverán más atractivas! Dividir por -2. En el lado izquierdo, término por término, y en el derecho, simplemente dividimos cero entre -2, cero y obtenemos:

Resolvemos mediante el discriminante y comprobamos mediante el teorema de Vieta. obtenemos x = 1 y x = 3. Dos raíces.

Como puedes ver, en el primer caso la ecuación después de la transformación se volvió lineal, pero aquí se vuelve cuadrática. Sucede que después de deshacerse de las fracciones, todas las X se reducen. Algo queda, como 5=5. Esto significa que x puede ser cualquier cosa. Sea lo que sea, seguirá siendo reducido. Y resulta ser pura verdad, 5=5. Pero, después de deshacernos de las fracciones, puede resultar completamente falso, como 2=7. Y esto significa que sin soluciones! Cualquier X resulta ser falsa.

Se dio cuenta de la solución principal. ecuaciones fraccionarias? Es simple y lógico. Cambiamos la expresión original para que todo lo que no nos gusta desaparezca. O interfiere. En este caso se trata de fracciones. Haremos lo mismo con todo tipo de ejemplos complejos con logaritmos, senos y otros horrores. Nosotros Siempre Deshagámonos de todo esto.

Sin embargo, necesitamos cambiar la expresión original en la dirección que necesitamos. según las reglas, si... Cuyo dominio es la preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Entonces lo estamos dominando.

Ahora aprenderemos cómo evitar uno de principales emboscadas en el Examen Estatal Unificado! Pero primero, veamos si caes en él o no.

Veamos un ejemplo sencillo:

El asunto ya nos resulta familiar, multiplicamos ambos lados por (x – 2), obtenemos:

Te recuerdo, entre corchetes (x – 2)¡Trabajamos como si fuera una sola expresión integral!

Aquí ya no escribí uno en los denominadores, es indigno... Y no puse paréntesis en los denominadores, excepto x – 2 no hay nada, no tienes que dibujar. Acortemos:

Abra los paréntesis, mueva todo hacia la izquierda y proporcione otros similares:

Resolvemos, comprobamos, obtenemos dos raíces. x = 2 Y x = 3. Excelente.

Supongamos que la tarea dice que se escriba la raíz, o su suma si hay más de una raíz. ¿Qué vamos a escribir?

Si decides que la respuesta es 5, fueron emboscados. Y la tarea no se le acreditará. Trabajaron en vano... La respuesta correcta es 3.

¡¿Qué pasa?! Y tratas de hacer un control. Sustituir los valores de la incógnita en original ejemplo. Y si en x = 3 todo crecerá maravillosamente junto, obtenemos 9 = 9, entonces cuando x = 2¡Será división por cero! Lo que absolutamente no puedes hacer. Medio x = 2 no es una solución y no se tiene en cuenta en la respuesta. Esta es la llamada raíz extraña o extra. Simplemente lo descartamos. La raíz final es una. x = 3.

¡¿Cómo es eso?! – Escucho exclamaciones indignadas. ¡Nos enseñaron que una ecuación se puede multiplicar por una expresión! ¡Esta es una transformación idéntica!

Sí, idéntico. Bajo una pequeña condición - la expresión por la cual multiplicamos (dividimos) - diferente de cero. A x – 2 en x = 2 es igual a cero! Entonces todo es justo.

Entonces, ¿qué debemos hacer ahora? ¿No multiplicar por expresión? ¿Debo comprobarlo cada vez? ¡Nuevamente no está claro!

¡Tranquilamente! ¡No entrar en pánico!

En esta difícil situación, tres letras mágicas nos salvarán. Sé lo que estás pensando. ¡Bien! Este ODZ . Área de Valores Aceptables.

Las ecuaciones cuadráticas suelen aparecer al resolver diversos problemas de física y matemáticas. En este artículo veremos cómo resolver estas igualdades de forma universal “mediante un discriminante”. En el artículo también se dan ejemplos del uso de los conocimientos adquiridos.

¿De qué ecuaciones estaremos hablando?

La siguiente figura muestra una fórmula en la que x es una variable desconocida y los símbolos latinos a, b, c representan algunos números conocidos.

Cada uno de estos símbolos se llama coeficiente. Como puedes ver, el número "a" aparece antes de la variable x al cuadrado. Esta es la potencia máxima de la expresión representada, por eso se llama ecuación cuadrática. A menudo se utiliza su otro nombre: ecuación de segundo orden. El valor a en sí es un coeficiente cuadrado (que está con la variable al cuadrado), b es un coeficiente lineal (está al lado de la variable elevada a la primera potencia) y, finalmente, el número c es el término libre.

Tenga en cuenta que el tipo de ecuación que se muestra en la figura anterior es una expresión cuadrática clásica general. Además de ella, existen otras ecuaciones de segundo orden en las que los coeficientes b y c pueden ser cero.

Cuando la tarea es resolver la igualdad en cuestión, esto significa que es necesario encontrar valores de la variable x que la satisfagan. Aquí, lo primero que debes recordar es lo siguiente: dado que el grado máximo de X es 2, entonces este tipo de expresión no puede tener más de 2 soluciones. Esto significa que si al resolver una ecuación se encontraron 2 valores de x que la satisfacen, entonces puedes estar seguro de que no existe un 3er número, sustituyéndolo por x, la igualdad también sería cierta. Las soluciones de una ecuación en matemáticas se llaman raíces.

Métodos para resolver ecuaciones de segundo orden.

Resolver ecuaciones de este tipo requiere conocimiento de alguna teoría sobre ellas. En el curso de álgebra escolar se consideran 4 métodos de solución diferentes. Enumeremoslos:

• usando factorización;
• usando la fórmula del cuadrado perfecto;
• aplicando la gráfica de la función cuadrática correspondiente;
• usando la ecuación discriminante.

La ventaja del primer método es su simplicidad; sin embargo, no se puede utilizar para todas las ecuaciones. El segundo método es universal, pero algo engorroso. El tercer método es claro, pero no siempre es conveniente y aplicable. Y, por último, utilizar la ecuación discriminante es una forma universal y bastante sencilla de encontrar las raíces de absolutamente cualquier ecuación de segundo orden. Por lo tanto, en este artículo solo lo consideraremos.

Fórmula para obtener las raíces de la ecuación.

Pasemos a la forma general de la ecuación cuadrática. Escribámoslo: a*x²+ b*x + c =0. Antes de utilizar el método para resolverlo "a través de un discriminante", siempre debes llevar la igualdad a su forma escrita. Es decir, debe constar de tres términos (o menos si b o c es 0).

Por ejemplo, si hay una expresión: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², entonces primero debes mover todos sus términos a un lado de la igualdad y sumar los términos que contienen la variable x en la mismos poderes.

En este caso, esta operación dará como resultado la siguiente expresión: -6*x²-4*x+8=0, que equivale a la ecuación 6*x²+4*x-8=0 (aquí multiplicamos la izquierda y lados derechos de la igualdad por -1).

En el ejemplo anterior, a = 6, b=4, c=-8. Tenga en cuenta que todos los términos de la igualdad considerada siempre se suman, por lo que si aparece el signo “-”, significa que el coeficiente correspondiente es negativo, como el número c en este caso.

Examinado este punto, pasemos ahora a la fórmula en sí, que permite obtener las raíces de una ecuación cuadrática. Se parece al que se muestra en la foto de abajo.

Como puede verse en esta expresión, le permite obtener dos raíces (preste atención al signo “±”). Para hacer esto, basta con sustituir los coeficientes b, cy a.

El concepto de discriminante.

En el párrafo anterior se dio una fórmula que permite resolver rápidamente cualquier ecuación de segundo orden. En él, la expresión radical se llama discriminante, es decir, D = b²-4*a*c.

¿Por qué se resalta esta parte de la fórmula y por qué tiene incluso su propio nombre? El hecho es que el discriminante conecta los tres coeficientes de la ecuación en una sola expresión. Este último hecho significa que contiene información completa sobre las raíces, que se puede expresar en la siguiente lista:

1. D>0: La igualdad tiene 2 soluciones diferentes, ambas son números reales.
2. D=0: La ecuación tiene una sola raíz y es un número real.

Tarea de determinación discriminante

Pongamos un ejemplo sencillo de cómo encontrar un discriminante. Sea la siguiente igualdad: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Llevémoslo a la forma estándar, obtenemos: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de donde llegamos a la igualdad : -2*x² +2*x-11 = 0. Aquí a=-2, b=2, c=-11.

Ahora puedes usar la fórmula anterior para el discriminante: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. El número resultante es la respuesta a la tarea. Como el discriminante en el ejemplo es menor que cero, podemos decir que esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales. Su solución serán únicamente números de tipo complejo.

Un ejemplo de desigualdad a través de un discriminante

Resolvamos problemas de un tipo ligeramente diferente: dada la igualdad -3*x²-6*x+c = 0. Es necesario encontrar valores de c para los cuales D>0.

En este caso sólo se conocen 2 de 3 coeficientes, por lo que no es posible calcular el valor exacto del discriminante, pero sí se sabe que es positivo. Usamos el último hecho al componer la desigualdad: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Resolver la desigualdad resultante lleva al resultado: c>-3.

Comprobemos el número resultante. Para ello calculamos D para 2 casos: c=-2 y c=-4. El número -2 satisface el resultado obtenido (-2>-3), el discriminante correspondiente tendrá el valor: D = 12>0. A su vez, el número -4 no satisface la desigualdad (-4. Por lo tanto, cualquier número c que sea mayor que -3 cumplirá la condición.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Presentemos un problema que implica no sólo encontrar el discriminante, sino también resolver la ecuación. Es necesario encontrar las raíces para la igualdad -2*x²+7-9*x = 0.

En este ejemplo, el discriminante es igual al siguiente valor: D = 81-4*(-2)*7= 137. Entonces las raíces de la ecuación se determinan de la siguiente manera: x = (9±√137)/(- 4). Estos son los valores exactos de las raíces; si calculas la raíz aproximadamente, obtienes los números: x = -5,176 y x = 0,676.

problema geométrico

Resolvamos un problema que requerirá no solo la capacidad de calcular el discriminante, sino también el uso de habilidades de pensamiento abstracto y conocimiento de cómo escribir ecuaciones cuadráticas.

Bob tenía un edredón de 5 x 4 metros. El niño quería coserle una tira continua de hermosa tela alrededor de todo el perímetro. ¿Qué grosor tendrá esta tira si sabemos que Bob tiene 10 m² de tela?

Deja que la tira tenga un grosor de x m, entonces el área de la tela a lo largo del lado largo de la manta será (5+2*x)*x, y como hay 2 lados largos, tenemos: 2*x *(5+2*x). En el lado corto, el área de la tela cosida será 4*x, como hay 2 de estos lados, obtenemos el valor 8*x. Tenga en cuenta que se agregó 2*x al lado largo porque la longitud de la manta aumentó en ese número. La superficie total de tela cosida a la manta es de 10 m². Por lo tanto, obtenemos la igualdad: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Para este ejemplo, el discriminante es igual a: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Su raíz es 22. Usando la fórmula, encontramos las raíces requeridas: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Evidentemente, de las dos raíces, sólo el número 0,5 es adecuado según las condiciones del problema.

Así, la tira de tela que Bob cose a su manta tendrá 50 cm de ancho.

Entre todo el plan de estudios de álgebra escolar, uno de los temas más extensos es el tema de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, se entiende por ecuación cuadrática una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 (léase: a multiplicado por x al cuadrado más be x más ce es igual a cero, donde a no es igual a cero). En este caso, el lugar principal lo ocupan las fórmulas para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática del tipo especificado, que se entiende como una expresión que permite determinar la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática, así como su número (si lo hubiera).

Fórmula (ecuación) del discriminante de una ecuación cuadrática

La fórmula generalmente aceptada para el discriminante de una ecuación cuadrática es la siguiente: D = b 2 – 4ac. Al calcular el discriminante usando la fórmula especificada, no solo puede determinar la presencia y el número de raíces de una ecuación cuadrática, sino también elegir un método para encontrar estas raíces, de las cuales hay varias según el tipo de ecuación cuadrática.

¿Qué significa si el discriminante es cero? \ Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática si el discriminante es cero.

El discriminante, como se desprende de la fórmula, se denota con la letra latina D. En el caso de que el discriminante sea igual a cero, se debe concluir que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, tiene una sola raíz, que se calcula mediante una fórmula simplificada. Esta fórmula se aplica sólo cuando el discriminante es cero y se ve así: x = –b/2a, donde x es la raíz de la ecuación cuadrática, b y a son las variables correspondientes de la ecuación cuadrática. Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, debes dividir el valor negativo de la variable b por el doble del valor de la variable a. La expresión resultante será la solución de una ecuación cuadrática.

Resolver una ecuación cuadrática usando un discriminante

Si al calcular el discriminante usando la fórmula anterior se obtiene un valor positivo (D es mayor que cero), entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se calculan usando las siguientes fórmulas: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. La mayoría de las veces, el discriminante no se calcula por separado, sino que la expresión radical en forma de fórmula discriminante simplemente se sustituye en el valor D del que se extrae la raíz. Si la variable b tiene un valor par, entonces para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, también puedes usar las siguientes fórmulas: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, donde k = b/2.

En algunos casos, para resolver prácticamente ecuaciones cuadráticas, se puede utilizar el Teorema de Vieta, que establece que para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + px + q = 0 el valor x 1 + x 2 = –p será cierto, y para el producto de las raíces de la ecuación especificada – expresión x 1 x x 2 = q.

¿Puede el discriminante ser menor que cero?

Al calcular el valor discriminante, puede encontrarse con una situación que no se incluye en ninguno de los casos descritos: cuando el discriminante tiene un valor negativo (es decir, menor que cero). En este caso, generalmente se acepta que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, no tiene raíces reales, por lo tanto, su solución se limitará a calcular el discriminante, y las fórmulas anteriores para las raíces de una ecuación cuadrática no se aplicarán, en este caso las habrá. Al mismo tiempo, en la respuesta a la ecuación cuadrática está escrito que "la ecuación no tiene raíces reales".

Vídeo explicativo:

Nivel de entrada

Ecuaciones cuadráticas. La guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de X.

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener X al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos cómo sacar la raíz cuadrada, usemos esta ecuación para expresar

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo; lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz. Debes prestar especial atención al paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
• Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Encontramos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRADADAS. NIVEL MEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratis.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene raíces:
• Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:

  Estas raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo #1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que den el producto y cuya diferencia sea igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Comprobamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuelve de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y, desde.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

1. El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
3. Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

En general, la transformación se verá así:

Sigue: .

¿No te recuerda nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRADADAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
• si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Llevemos la ecuación a su forma estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.