Γράφοντας μια τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα. Τετράγωνα σχήματα. Σημειογραφία μήτρας τετραγωνικής μορφής

Τετράγωνα σχήματα.
Σημάδι οριστικότητα των μορφών. Κριτήριο Sylvester

Το επίθετο "τετραγωνικό" υποδηλώνει αμέσως ότι κάτι εδώ συνδέεται με ένα τετράγωνο (ο δεύτερος βαθμός) και πολύ σύντομα θα μάθουμε αυτό το "κάτι" και ποιο είναι το σχήμα. Αποδείχτηκε ότι ήταν γλωσσοδέτης :)

Καλώς ήρθατε στο νέο μου μάθημα και ως άμεση προθέρμανση θα δούμε το ριγέ σχήμα γραμμικός. Γραμμική μορφή μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςΠολυώνυμο 1ου βαθμού:

- κάποιοι συγκεκριμένοι αριθμοί * (υποθέτουμε ότι τουλάχιστον ένα από αυτά δεν είναι μηδενικό), οι a είναι μεταβλητές που μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές.

* Στο πλαίσιο αυτού του θέματος θα εξετάσουμε μόνο πραγματικούς αριθμούς .

Έχουμε ήδη συναντήσει τον όρο «ομογενής» στο μάθημα για ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων, και σε αυτή την περίπτωση σημαίνει ότι το πολυώνυμο δεν έχει σταθερά συν.

Για παράδειγμα: – γραμμική μορφή δύο μεταβλητών

Τώρα το σχήμα είναι τετραγωνικό. Τετραγωνικό σχήμα μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού, κάθε όρος του οποίουπεριέχει είτε το τετράγωνο της μεταβλητής είτε διπλασιάζεταιγινόμενο μεταβλητών. Έτσι, για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών έχει την ακόλουθη μορφή:

Προσοχή!Αυτή είναι μια τυπική καταχώριση και δεν χρειάζεται να αλλάξετε τίποτα σχετικά με αυτό! Παρά την "τρομακτική" εμφάνιση, όλα είναι απλά εδώ - διπλοί δείκτης σταθερών σηματοδοτούν ποιες μεταβλητές περιλαμβάνονται σε ποιον όρο:
– αυτός ο όρος περιέχει το προϊόν και (τετράγωνο)·
- εδώ είναι η δουλειά.
- και εδώ είναι το έργο.

– Αναμένω αμέσως ένα χονδροειδές λάθος όταν χάνουν το «μείον» ενός συντελεστή, χωρίς να καταλαβαίνω ότι αναφέρεται σε έναν όρο:

Μερικές φορές υπάρχει μια επιλογή σχεδιασμού "σχολείου" στο πνεύμα, αλλά μόνο μερικές φορές. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι οι σταθερές δεν μας λένε απολύτως τίποτα εδώ, και επομένως είναι πιο δύσκολο να θυμηθούμε την "εύκολη σημειογραφία". Ειδικά όταν υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές.

Και η τετραγωνική μορφή τριών μεταβλητών περιέχει ήδη έξι όρους:

...γιατί οι «δύο» παράγοντες τοποθετούνται με «μικτούς» όρους; Αυτό είναι βολικό, και σύντομα θα γίνει σαφές γιατί.

Ωστόσο, ας γράψουμε τον γενικό τύπο, είναι βολικό να τον γράψουμε σε ένα "φύλλο":

– μελετάμε προσεκτικά κάθε γραμμή – δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό!

Η τετραγωνική μορφή περιέχει όρους με τα τετράγωνα των μεταβλητών και όρους με τα ζευγαρωμένα γινόμενα τους (εκ. τύπος συνδυαστικού συνδυασμού) . Τίποτα περισσότερο - χωρίς "μοναχικό Χ" και καμία προστιθέμενη σταθερά (τότε δεν θα λάβετε μια τετραγωνική μορφή, αλλά ετερογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού).

Σημειογραφία μήτρας τετραγωνικής μορφής

Ανάλογα με τις τιμές, η εν λόγω μορφή μπορεί να λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές και το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε γραμμική μορφή - εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές της είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός (ανάλογα με αξίες).

Αυτή η μορφή ονομάζεται εναλλασσόμενο σημάδι. Και αν όλα είναι διαφανή με τη γραμμική μορφή, τότε με την τετραγωνική μορφή τα πράγματα είναι πολύ πιο ενδιαφέροντα:

Είναι απολύτως σαφές ότι αυτή η μορφή μπορεί να πάρει την έννοια οποιουδήποτε σημείου, έτσι η τετραγωνική μορφή μπορεί επίσης να είναι εναλλασσόμενη.

Μπορεί να μην είναι:

– πάντα, εκτός εάν ταυτόχρονα ισούται με μηδέν.

- Για οποιονδηποτε διάνυσμαεκτός από το μηδέν.

Και γενικά μιλώντας,αν για κανέναν μη μηδενικόδιάνυσμα , , τότε ονομάζεται η τετραγωνική μορφή θετική οριστική; αν ναι τότε αρνητική οριστική.

Και όλα θα ήταν καλά, αλλά η βεβαιότητα της τετραγωνικής μορφής είναι ορατή μόνο σε απλά παραδείγματα, και αυτή η ορατότητα χάνεται ακόμη και με μια μικρή περιπλοκή:
– ?

Θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι η μορφή ορίζεται θετικά, αλλά είναι πράγματι έτσι; Τι γίνεται αν υπάρχουν τιμές στις οποίες είναι μικρότερη από το μηδέν;

Σε αυτό το σκορ υπάρχει θεώρημα: Αν όλοι ιδιοτιμέςΟι πίνακες τετραγωνικής μορφής είναι θετικοί * , τότε είναι θετική οριστική. Αν όλα είναι αρνητικά, τότε αρνητικά.

* Έχει αποδειχθεί θεωρητικά ότι όλες οι ιδιοτιμές ενός πραγματικού συμμετρικού πίνακα έγκυρος

Ας γράψουμε τον πίνακα της παραπάνω φόρμας:
και από την Εξ. ας τη βρούμε ιδιοτιμές:

Ας λύσουμε το παλιό καλό τετραγωνική εξίσωση:

, που σημαίνει τη μορφή ορίζεται θετικά, δηλ. για οποιεσδήποτε μη μηδενικές τιμές είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.

Η εξεταζόμενη μέθοδος φαίνεται να λειτουργεί, αλλά υπάρχει ένα μεγάλο ΑΛΛΑ. Ήδη για έναν πίνακα τρία προς τρία, η αναζήτηση κατάλληλων αριθμών είναι μια μακρά και δυσάρεστη εργασία. με μεγάλη πιθανότητα θα πάρετε ένα πολυώνυμο 3ου βαθμού με παράλογες ρίζες.

Τι πρέπει να κάνω? Υπάρχει πιο εύκολος τρόπος!

Κριτήριο Sylvester

Όχι, όχι Sylvester Stallone :) Αρχικά, να σας θυμίσω τι είναι γωνιακά ανήλικαμήτρες. Αυτό προκριματικά που «μεγαλώνουν» από την επάνω αριστερή γωνία του:

και η τελευταία είναι ακριβώς ίση με την ορίζουσα του πίνακα.

Τώρα, στην πραγματικότητα, κριτήριο:

1) Ορίζεται τετραγωνική μορφή θετικώςαν και μόνο αν ΟΛΕΣ οι γωνιακές ελάσσονες του είναι μεγαλύτερες από το μηδέν: .

2) Ορίζεται τετραγωνική μορφή αρνητικόςαν και μόνο αν οι γωνιακές ελάσσονες του εναλλάσσονται στο πρόσημο, με την 1η ελάσσονα μικρότερη από το μηδέν: , , εάν – ζυγό ή , αν – περιττό.

Εάν τουλάχιστον ένα γωνιακό ελάσσονα είναι του αντίθετου πρόσημου, τότε η μορφή εναλλασσόμενο σημάδι. Εάν τα γωνιακά ανήλικα είναι του «σωστού» πρόσημου, αλλά υπάρχουν μηδενικά μεταξύ τους, τότε αυτή είναι μια ειδική περίπτωση, την οποία θα εξετάσω λίγο αργότερα, αφού δούμε πιο κοινά παραδείγματα.

Ας αναλύσουμε τα γωνιακά ελάσσονα του πίνακα :

Και αυτό μας λέει αμέσως ότι η μορφή δεν ορίζεται αρνητικά.

συμπέρασμα: όλα τα δευτερεύοντα γωνιακά είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, που σημαίνει τη φόρμα ορίζεται θετικά.

Υπάρχει διαφορά με τη μέθοδο ιδιοτιμής; ;)

Ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας από Παράδειγμα 1:

το πρώτο είναι το γωνιακό ελάσσονα του, και το δεύτερο , από το οποίο προκύπτει ότι το σχήμα είναι εναλλασσόμενο σε πρόσημο, δηλ. ανάλογα με τις τιμές, μπορεί να πάρει και θετικές και αρνητικές τιμές. Ωστόσο, αυτό είναι ήδη προφανές.

Ας πάρουμε τη μορφή και τον πίνακα της από Παράδειγμα 2:

Δεν υπάρχει τρόπος να το καταλάβετε αυτό χωρίς διορατικότητα. Αλλά με το κριτήριο του Sylvester δεν μας ενδιαφέρει:
, επομένως, η φόρμα σίγουρα δεν είναι αρνητική.

, και σίγουρα όχι θετικό (καθώς όλα τα γωνιακά ανήλικα πρέπει να είναι θετικά).

συμπέρασμα: το σχήμα εναλλάσσεται.

Παραδείγματα προθέρμανσης για ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 4

Διερευνήστε τους τετραγωνικούς τύπους για την οριστικότητα του πρόσημου

ΕΝΑ)

Σε αυτά τα παραδείγματα όλα είναι ομαλά (δείτε το τέλος του μαθήματος), αλλά στην πραγματικότητα, για να ολοκληρώσετε μια τέτοια εργασία Το κριτήριο του Sylvester μπορεί να μην είναι αρκετό.

Το θέμα είναι ότι υπάρχουν περιπτώσεις «ακρών», δηλαδή: εάν υπάρχουν μη μηδενικόδιάνυσμα, τότε προσδιορίζεται το σχήμα μη αρνητικό, αν τότε αρνητικός. Αυτές οι μορφές έχουν μη μηδενικόδιανύσματα για τα οποία .

Εδώ μπορείτε να παραθέσετε το ακόλουθο «ακορντεόν»:

Επισήμανση Τέλειο τετράγωνο, βλέπουμε αμέσως μη αρνητικότηταμορφή: , και είναι ίσο με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα με ίσες συντεταγμένες, για παράδειγμα: .

Παράδειγμα "Mirror". αρνητικόςσυγκεκριμένη μορφή:

και ένα ακόμη πιο ασήμαντο παράδειγμα:
– εδώ η μορφή είναι ίση με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα , όπου είναι ένας αυθαίρετος αριθμός.

Πώς να αναγνωρίσετε μη αρνητικές ή μη θετικές μορφές;

Για αυτό χρειαζόμαστε την ιδέα μεγάλα ανήλικα μήτρες. Ένα μείζον ελάσσονα είναι ένα δευτερεύον που αποτελείται από στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση γραμμών και στηλών με τους ίδιους αριθμούς. Έτσι, ο πίνακας έχει δύο κύρια δευτερεύοντα της 1ης τάξης:
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 1ης σειράς και της 1ης στήλης).
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 2ης σειράς και της 2ης στήλης),

και ένα μείζον δευτερεύον της 2ης τάξης:
– αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.

Ο πίνακας είναι "τρία επί τρία" Υπάρχουν επτά βασικοί ανήλικοι και εδώ θα πρέπει να κάμψετε τους δικέφαλους σας:
– τρία ανήλικα 1ης τάξης,
τρία ανήλικα 2ης τάξης:
– αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.
– αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 3ης σειράς και 1ης, 3ης στήλης.
– αποτελείται από στοιχεία της 2ης, 3ης σειράς και 2ης, 3ης στήλης,
και ένα μικρό 3ης τάξης:
– αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης, 3ης σειράς και 1ης, 2ης και 3ης στήλης.
Ασκησηγια κατανόηση: καταγράψτε όλα τα κύρια δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα .
Ελέγχουμε στο τέλος του μαθήματος και συνεχίζουμε.

Κριτήριο Schwarzenegger:

1) Ορίζεται μη μηδενική* τετραγωνική μορφή μη αρνητικόεάν και μόνο εάν ΟΛΟΙ οι κύριοι ανήλικοι του μη αρνητικό(μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν).

* Η μηδενική (εκφυλισμένη) τετραγωνική μορφή έχει όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν.

2) Ορίζεται μη μηδενική τετραγωνική μορφή με μήτρα αρνητικόςαν και μόνο αν:
– μείζονες ανήλικοι 1ης τάξης μη θετικό(μικρότερο ή ίσο με μηδέν).
– μείζονες ανήλικοι 2ης τάξης μη αρνητικό;
– μείζονες ανήλικοι 3ης τάξης μη θετικό(άρχισε η εναλλαγή)
…
– μείζον ελάσσονος της τάξεως μη θετικό, αν – περιττό ή μη αρνητικό, αν – ακόμη.

Εάν τουλάχιστον ένα μικρό είναι αντίθετο πρόσημο, τότε η φόρμα είναι εναλλασσόμενη.

Ας δούμε πώς λειτουργεί το κριτήριο στα παραπάνω παραδείγματα:

Ας δημιουργήσουμε μια μήτρα σχήματος και ΠρώταΑς υπολογίσουμε τα γωνιακά δευτερεύοντα - τι γίνεται αν ορίζεται θετικά ή αρνητικά;

Οι λαμβανόμενες τιμές δεν ικανοποιούν το κριτήριο Sylvester, αλλά το δεύτερο δευτερεύον όχι αρνητικό, και αυτό καθιστά απαραίτητο τον έλεγχο του 2ου κριτηρίου (στην περίπτωση του 2ου κριτηρίου δεν θα εκπληρωθεί αυτόματα, δηλαδή συνάγεται άμεσα το συμπέρασμα για την εναλλαγή προσήμων του εντύπου).

Κύριοι ανήλικοι της 1ης τάξης:
- θετικός,
κύρια ελάσσονα 2ης τάξης:
– όχι αρνητικό.

Έτσι, ΟΛΕΣ οι κύριες δευτερεύουσες δεν είναι αρνητικές, που σημαίνει τη μορφή μη αρνητικό.

Ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας , για το οποίο προφανώς δεν ικανοποιείται το κριτήριο Sylvester. Δεν λάβαμε όμως και αντίθετα πρόσημα (αφού και τα δύο γωνιακά ελάσσονα είναι ίσα με μηδέν). Επομένως, ελέγχουμε την εκπλήρωση του κριτηρίου μη αρνητικότητα/μη θετικότητα. Κύριοι ανήλικοι της 1ης τάξης:
– όχι θετικά,
κύρια ελάσσονα 2ης τάξης:
– όχι αρνητικό.

Έτσι, σύμφωνα με το κριτήριο του Schwarzenegger (σημείο 2), η μορφή δεν ορίζεται θετικά.

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε ένα πιο ενδιαφέρον πρόβλημα:

Παράδειγμα 5

Εξετάστε τον τετραγωνικό τύπο για την οριστικότητα του πρόσημου

Αυτή η φόρμα είναι διακοσμημένη με την τάξη «άλφα», η οποία μπορεί να είναι ίση με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Αλλά θα είναι μόνο πιο διασκεδαστικό εμείς αποφασίζουμε.

Αρχικά, ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας πολλοί άνθρωποι πιθανότατα έχουν ήδη συνηθίσει να το κάνουν προφορικά: on κύρια διαγώνιοΒάζουμε τους συντελεστές για τα τετράγωνα και στα συμμετρικά σημεία βάζουμε τους μισούς συντελεστές των αντίστοιχων «μικτών» γινόμενων:

Ας υπολογίσουμε τα γωνιακά δευτερεύοντα:

Θα επεκτείνω την τρίτη ορίζουσα στην 3η γραμμή:

Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Πίνακας τετραγωνικής μορφής. Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής. Μέθοδος Lagrange. Κανονική άποψη τετραγωνικής μορφής. Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικής μορφής. Θετική οριστική τετραγωνική μορφή. Τετράγωνοι.

Έννοια της τετραγωνικής μορφής:μια συνάρτηση σε ένα διανυσματικό χώρο που ορίζεται από ένα ομοιογενές πολυώνυμο δεύτερου βαθμού στις συντεταγμένες του διανύσματος.

Τετραγωνική μορφή από nάγνωστος Καλείται ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο ενός από αυτά τα άγνωστα, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών αγνώστων.

Τετραγωνικός πίνακας:Ο πίνακας ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής σε μια δεδομένη βάση. Εάν το χαρακτηριστικό πεδίου δεν είναι ίσο με 2, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής είναι συμμετρικός, δηλαδή.

Γράψτε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής:

Ως εκ τούτου,

Στη μορφή διανυσματικού πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι:

Α, όπου

Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής:Μια τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονική αν όλα δηλ.

Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας γραμμικούς μετασχηματισμούς. Στην πράξη, συνήθως χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι.

Μέθοδος Lagrange : διαδοχική επιλογή πλήρων τετραγώνων. Για παράδειγμα, εάν

Στη συνέχεια γίνεται παρόμοια διαδικασία με την τετραγωνική μορφή κλπ. Αν σε τετραγωνική μορφή όλα είναι αλλά στη συνέχεια, μετά την προκαταρκτική μετατροπή, το θέμα περιέρχεται στην εξεταζόμενη διαδικασία. Έτσι, αν, για παράδειγμα, τότε υποθέσουμε

Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής:Μια κανονική τετραγωνική μορφή είναι μια κανονική τετραγωνική μορφή στην οποία όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με +1 ή -1.

Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικής φόρμας:Κατάταξη τετραγωνικής μορφής ΕΝΑονομάζεται κατάταξη του πίνακα ΕΝΑ. Η κατάταξη μιας τετραγωνικής μορφής δεν αλλάζει κάτω από μη εκφυλισμένους μετασχηματισμούς αγνώστων.

Ο αριθμός των αρνητικών συντελεστών ονομάζεται δείκτης αρνητικής μορφής.

Ο αριθμός των θετικών όρων σε κανονική μορφή ονομάζεται θετικός δείκτης αδράνειας της τετραγωνικής μορφής, ο αριθμός των αρνητικών όρων ονομάζεται αρνητικός δείκτης. Η διαφορά μεταξύ των θετικών και αρνητικών δεικτών ονομάζεται υπογραφή της τετραγωνικής μορφής

Θετική οριστική τετραγωνική μορφή:Πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετική οριστική (αρνητική οριστική) εάν, για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν,

. (36)

Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας ονομάζεται επίσης θετική οριστική (αρνητική οριστική).

Η κλάση των θετικών οριστικών (αρνητική οριστική) μορφών είναι μέρος της κατηγορίας των μη αρνητικών (αντιστοιχ. μη θετικών) μορφών.

Τετράδικοι:Τετράγωνο - n-διαστατική υπερεπιφάνεια σε n+1-διάστατος χώρος, που ορίζεται ως το σύνολο των μηδενικών ενός πολυωνύμου δεύτερου βαθμού. Εάν εισάγετε τις συντεταγμένες ( Χ 1 , Χ 2 , x n+1 ) (στον ευκλείδειο ή συγγενικό χώρο), η γενική εξίσωση ενός τετραγώνου είναι

Αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί πιο συμπαγή σε συμβολισμό πίνακα:

όπου x = ( Χ 1 , Χ 2 , x n+1 ) — διάνυσμα σειράς, ΧΤο T είναι ένα μεταφερόμενο διάνυσμα, Q— πίνακας μεγέθους ( n+1)×( n+1) (υποτίθεται ότι τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία του είναι μη μηδενικό), Πείναι ένα διάνυσμα γραμμής, και R— σταθερό. Οι τετράπλευροι πάνω από πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς θεωρούνται συχνότερα. Ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί στα τετραγωνικά στον προβολικό χώρο, βλέπε παρακάτω.

Γενικότερα, το σύνολο των μηδενικών ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων είναι γνωστό ως αλγεβρική ποικιλία. Έτσι, ένα τετράγωνο είναι μια (συγγενική ή προβολική) αλγεβρική ποικιλία δεύτερου βαθμού και κωδικοδιάστασης 1.

Μεταμορφώσεις επιπέδου και χώρου.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου. Ανίχνευση κίνησης. ιδιότητες της κίνησης. Δύο είδη κινήσεων: κίνηση πρώτου είδους και κίνηση δεύτερου είδους. Παραδείγματα κινήσεων. Αναλυτική έκφραση κίνησης. Ταξινόμηση επίπεδων κινήσεων (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών). Ομάδα κινήσεων αεροπλάνων.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου: Ορισμός.Ένας επίπεδος μετασχηματισμός που διατηρεί την απόσταση μεταξύ των σημείων ονομάζεται κίνηση(ή κίνηση) του αεροπλάνου. Ο μετασχηματισμός επιπέδου ονομάζεται συγγενείς, αν μετατρέψει οποιαδήποτε τρία σημεία που βρίσκονται στην ίδια ευθεία σε τρία σημεία που βρίσκονται επίσης στην ίδια ευθεία και ταυτόχρονα διατηρώντας την απλή σχέση των τριών σημείων.

Ορισμός κίνησης:Πρόκειται για μετασχηματισμούς σχήματος που διατηρούν τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Εάν δύο φιγούρες είναι ακριβώς ευθυγραμμισμένες μεταξύ τους μέσω της κίνησης, τότε αυτές οι φιγούρες είναι ίδιες, ίσες.

Ιδιότητες κίνησης:Κάθε κίνηση διατήρησης προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε μια παράλληλη μετατόπιση είτε μια περιστροφή κάθε κίνηση αλλαγής προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε αξονική συμμετρία είτε ολισθαίνουσα συμμετρία. Όταν κινούνται, τα σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία μετατρέπονται σε σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή και η σειρά των σχετικών θέσεων τους διατηρείται. Κατά την κίνηση, διατηρούνται οι γωνίες μεταξύ ημιγραμμών.

Δύο είδη κινήσεων: κίνηση του πρώτου είδους και κίνηση του δεύτερου είδους:Οι κινήσεις του πρώτου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που διατηρούν τον προσανατολισμό των βάσεων μιας συγκεκριμένης φιγούρας. Μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Κινήσεις δεύτερου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που αλλάζουν τον προσανατολισμό των βάσεων προς το αντίθετο. Δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Παραδείγματα κινήσεων του πρώτου είδους είναι η μετατόπιση και η περιστροφή γύρω από μια ευθεία γραμμή, και οι κινήσεις του δεύτερου είδους είναι κεντρικές και κατοπτρικές συμμετρίες.

Η σύνθεση οποιουδήποτε αριθμού κινήσεων του πρώτου είδους είναι κίνηση του πρώτου είδους.

Η σύνθεση ενός ζυγού αριθμού κινήσεων του δεύτερου είδους είναι κίνηση του 1ου είδους και η σύνθεση ενός περιττού αριθμού κινήσεων του 2ου είδους είναι κίνηση του 2ου είδους.

Παραδείγματα κινήσεων:Παράλληλη μεταφορά. Έστω a το δεδομένο διάνυσμα. Η παράλληλη μεταφορά στο διάνυσμα a είναι μια αντιστοίχιση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο M αντιστοιχίζεται στο σημείο M 1, έτσι ώστε το διάνυσμα MM 1 να είναι ίσο με το διάνυσμα a.

Η παράλληλη μετάφραση είναι μια κίνηση γιατί είναι μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, διατηρώντας τις αποστάσεις. Αυτή η κίνηση μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως μετατόπιση ολόκληρου του επιπέδου προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου διανύσματος α κατά το μήκος του.

Γυρίζω.Ας υποδηλώσουμε το σημείο Ο στο επίπεδο ( κέντρο στροφής) και ορίστε τη γωνία α ( γωνία περιστροφής). Η περιστροφή του επιπέδου γύρω από το σημείο Ο κατά μια γωνία α είναι η χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο Μ χαρτογραφείται στο σημείο Μ 1, έτσι ώστε OM = OM 1 και η γωνία MOM 1 είναι ίση με α. Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο Ο παραμένει στη θέση του, δηλ. χαρτογραφείται στον εαυτό του και όλα τα άλλα σημεία περιστρέφονται γύρω από το σημείο Ο προς την ίδια κατεύθυνση - δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα (το σχήμα δείχνει μια αριστερόστροφη περιστροφή).

Η περιστροφή είναι μια κίνηση γιατί αντιπροσωπεύει μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία διατηρούνται οι αποστάσεις.

Αναλυτική έκφραση κίνησης:η αναλυτική σύνδεση μεταξύ των συντεταγμένων της προεικόνας και της εικόνας του σημείου έχει τη μορφή (1).

Ταξινόμηση των κινήσεων του επιπέδου (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών): Ορισμός:

Ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι αμετάβλητο (σταθερό) εάν, κάτω από έναν δεδομένο μετασχηματισμό, μετασχηματίζεται στον εαυτό του.

Παράδειγμα: Με την κεντρική συμμετρία, το σημείο του κέντρου συμμετρίας είναι αμετάβλητο. Κατά τη στροφή, το σημείο του κέντρου περιστροφής είναι αμετάβλητο. Με την αξονική συμμετρία, η αμετάβλητη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή - ο άξονας συμμετρίας είναι μια ευθεία γραμμή αμετάβλητων σημείων.

Θεώρημα: Αν μια κίνηση δεν έχει ένα μόνο αμετάβλητο σημείο, τότε έχει τουλάχιστον μία αμετάβλητη κατεύθυνση.

Παράδειγμα: Παράλληλη μεταφορά. Πράγματι, οι ευθείες γραμμές παράλληλες προς αυτή την κατεύθυνση είναι αμετάβλητες ως σύνολο, αν και δεν αποτελούνται από αμετάβλητα σημεία.

Θεώρημα: Εάν μια ακτίνα κινείται, η ακτίνα μεταφράζεται στον εαυτό της, τότε αυτή η κίνηση είναι είτε ταυτόσημος μετασχηματισμός είτε συμμετρία ως προς την ευθεία που περιέχει τη δεδομένη ακτίνα.

Επομένως, με βάση την παρουσία αμετάβλητων σημείων ή σχημάτων, είναι δυνατή η ταξινόμηση των κινήσεων.

Όνομα κίνησης	Αμετάβλητα σημεία	Αμετάβλητες γραμμές
Κίνηση πρώτου είδους.
1. - στροφή	(κέντρο) - 0	Οχι
2. Πανομοιότυπος μετασχηματισμός	όλα τα σημεία του αεροπλάνου	όλα ίσια
3. Κεντρική συμμετρία	σημείο 0 - κέντρο	όλες οι γραμμές που διέρχονται από το σημείο 0
4. Παράλληλη μεταφορά	Οχι	όλα ίσια
Κίνηση δεύτερου είδους.
5. Αξονική συμμετρία.	σύνολο σημείων	άξονας συμμετρίας (ευθεία γραμμή) όλες οι ευθείες

Ομάδα κίνησης αεροπλάνου:Στη γεωμετρία, οι ομάδες αυτοσυνθέσεων μορφών παίζουν σημαντικό ρόλο. Αν είναι ένα συγκεκριμένο σχήμα σε ένα επίπεδο (ή στο διάστημα), τότε μπορούμε να εξετάσουμε το σύνολο όλων εκείνων των κινήσεων του επιπέδου (ή του χώρου) κατά τις οποίες το σχήμα μετατρέπεται στον εαυτό του.

Αυτό το σετ είναι μια ομάδα. Για παράδειγμα, για ένα ισόπλευρο τρίγωνο, η ομάδα των επίπεδων κινήσεων που μετατρέπουν το τρίγωνο στον εαυτό του αποτελείται από 6 στοιχεία: περιστροφές μέσω γωνιών γύρω από ένα σημείο και συμμετρίες περίπου τριών ευθειών.

Φαίνονται στο Σχ. 1 κόκκινες γραμμές. Τα στοιχεία της ομάδας αυτοευθυγραμμίσεων ενός κανονικού τριγώνου μπορούν να καθοριστούν διαφορετικά. Για να το εξηγήσουμε αυτό, ας αριθμήσουμε τις κορυφές ενός κανονικού τριγώνου με τους αριθμούς 1, 2, 3. Οποιαδήποτε αυτοευθυγράμμιση του τριγώνου παίρνει τα σημεία 1, 2, 3 στα ίδια σημεία, αλλά λαμβάνονται με διαφορετική σειρά, δηλ. μπορεί να γραφτεί υπό όρους με τη μορφή μιας από αυτές τις αγκύλες:

και τα λοιπά.

όπου οι αριθμοί 1, 2, 3 δηλώνουν τους αριθμούς εκείνων των κορυφών στις οποίες οι κορυφές 1, 2, 3 πηγαίνουν ως αποτέλεσμα της κίνησης που εξετάζουμε.

Οι προβολικοί χώροι και τα μοντέλα τους.

Η έννοια του προβολικού χώρου και το μοντέλο του προβολικού χώρου. Βασικά στοιχεία προβολικής γεωμετρίας. Μια δέσμη γραμμών με κέντρο το σημείο Ο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Προβολικά σημεία. Το εκτεταμένο επίπεδο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ο εκτεταμένος τρισδιάστατος συγγενικός ή Ευκλείδειος χώρος είναι ένα μοντέλο προβολικού χώρου. Εικόνες επίπεδων και χωρικών μορφών σε παράλληλο σχέδιο.

Η έννοια του προβολικού χώρου και το μοντέλο του προβολικού χώρου:

Ο προβολικός χώρος πάνω από ένα πεδίο είναι ένας χώρος που αποτελείται από γραμμές (μονοδιάστατους υποχώρους) κάποιου γραμμικού χώρου σε ένα δεδομένο πεδίο. Οι άμεσοι χώροι ονομάζονται αποσιωπητικάπροβολικός χώρος. Αυτός ο ορισμός μπορεί να γενικευτεί σε ένα αυθαίρετο σώμα

Εάν έχει διάσταση , τότε η διάσταση του προβολικού χώρου ονομάζεται αριθμός , και ο ίδιος ο προβολικός χώρος συμβολίζεται και ονομάζεται συσχετισμένος με (για να δηλωθεί αυτό, υιοθετείται ο συμβολισμός).

Η μετάβαση από ένα διανυσματικό χώρο διάστασης στον αντίστοιχο προβολικό χώρο ονομάζεται προβολικοποίησηχώρος.

Τα σημεία μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες.

Βασικά στοιχεία της προβολικής γεωμετρίας:Η προβολική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά προβολικά επίπεδα και χώρους. Το κύριο χαρακτηριστικό της προβολικής γεωμετρίας είναι η αρχή της δυαδικότητας, η οποία προσθέτει κομψή συμμετρία σε πολλά σχέδια. Η προβολική γεωμετρία μπορεί να μελετηθεί τόσο από καθαρά γεωμετρική άποψη, όσο και από αναλυτική (χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες) και σαλγεβρική άποψη, θεωρώντας το προβολικό επίπεδο ως δομή πάνω από ένα πεδίο. Συχνά, και ιστορικά, το πραγματικό προβολικό επίπεδο θεωρείται το ευκλείδειο επίπεδο με την προσθήκη της «γραμμής στο άπειρο».

Ενώ οι ιδιότητες των σχημάτων με τις οποίες ασχολείται η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μετρικός(συγκεκριμένες τιμές γωνιών, τμημάτων, εμβαδών) και η ισοδυναμία των σχημάτων είναι ισοδύναμη με τους μαθηματική αναλογία(δηλαδή, όταν τα σχήματα μπορούν να μεταφραστούν το ένα στο άλλο μέσω της κίνησης διατηρώντας τις μετρικές ιδιότητες), υπάρχουν περισσότερες «βαθιές» ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων που διατηρούνται υπό μετασχηματισμούς ενός γενικότερου τύπου από την κίνηση. Η προβολική γεωμετρία ασχολείται με τη μελέτη των ιδιοτήτων των σχημάτων που είναι αμετάβλητα κάτω από την τάξη προβολικοί μετασχηματισμοί, καθώς και αυτές οι ίδιες οι μεταμορφώσεις.

Η προβολική γεωμετρία συμπληρώνει την Ευκλείδεια γεωμετρία παρέχοντας όμορφες και απλές λύσεις σε πολλά προβλήματα που περιπλέκονται από την παρουσία παράλληλων γραμμών. Η προβολική θεωρία των κωνικών τομών είναι ιδιαίτερα απλή και κομψή.

Υπάρχουν τρεις κύριες προσεγγίσεις στην προβολική γεωμετρία: ανεξάρτητη αξιωματοποίηση, συμπλήρωση της ευκλείδειας γεωμετρίας και δομή σε ένα πεδίο.

Αξιωματοποίηση

Ο προβολικός χώρος μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων.

Η Coxeter παρέχει τα ακόλουθα:

1. Υπάρχει μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο όχι πάνω της.

2. Κάθε γραμμή έχει τουλάχιστον τρία σημεία.

3. Μέσα από δύο σημεία μπορείτε να τραβήξετε ακριβώς μια ευθεία γραμμή.

4. Αν ΕΝΑ, σι, ντο, Και ρε- διάφορα σημεία και ΑΒΚαι CDδιασταυρώνονται, λοιπόν ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Και BDδιατέμνω.

5. Αν αλφάβητοείναι ένα επίπεδο, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο που δεν είναι στο επίπεδο αλφάβητο.

6. Δύο διαφορετικά επίπεδα τέμνουν τουλάχιστον δύο σημεία.

7. Τα τρία διαγώνια σημεία ενός πλήρους τετράπλευρου δεν είναι συγγραμμικά.

8. Αν τρία σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία Χ Χ

Το προβολικό επίπεδο (χωρίς την τρίτη διάσταση) ορίζεται από ελαφρώς διαφορετικά αξιώματα:

1. Μέσα από δύο σημεία μπορείτε να τραβήξετε ακριβώς μια ευθεία γραμμή.

2. Οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται.

3. Υπάρχουν τέσσερα σημεία, εκ των οποίων τα τρία δεν είναι συγγραμμικά.

4. Τα τρία διαγώνια σημεία των πλήρων τετραπλευρών δεν είναι συγγραμμικά.

5. Αν τρία σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία Χείναι αμετάβλητα ως προς την προβολικότητα του φ, τότε όλα τα σημεία επάνω Χαμετάβλητο ως προς το φ.

6. Θεώρημα Desargues: Αν δύο τρίγωνα είναι προοπτικά μέσω ενός σημείου, τότε είναι προοπτικά μέσω μιας ευθείας.

Με την παρουσία μιας τρίτης διάστασης, το θεώρημα του Desargues μπορεί να αποδειχθεί χωρίς να εισαχθεί ιδανικό σημείο και ευθεία.

Μοντέλο εκτεταμένου επιπέδου - προβολικού επιπέδου:Στον συγγενικό χώρο Α3 παίρνουμε μια δέσμη ευθειών S(O) με κέντρο στο σημείο Ο και ένα επίπεδο Π που δεν διέρχεται από το κέντρο της δέσμης: O 6∈ Π. Μια δέσμη γραμμών σε έναν συγγενικό χώρο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ας ορίσουμε μια αντιστοίχιση του συνόλου των σημείων του επιπέδου Π στο σύνολο των ευθειών του συνδετικού S (Γάμησε, προσευχήσου αν έχεις αυτή την ερώτηση, συγχωρέστε με)

Εκτεταμένος τρισδιάστατος συγγενικός ή Ευκλείδειος χώρος — ένα μοντέλο προβολικού χώρου:

Για να κάνουμε την αντιστοίχιση επιφανειακή, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία τυπικής επέκτασης του συγγενικού επιπέδου Π στο προβολικό επίπεδο, Π, συμπληρώνοντας το επίπεδο Π με ένα σύνολο ακατάλληλων σημείων (M∞) έτσι ώστε: ((M∞)) = Ρ0(Ο). Εφόσον στον χάρτη η αντίστροφη εικόνα κάθε επιπέδου της δέσμης επιπέδων S(O) είναι μια ευθεία στο επίπεδο d, είναι προφανές ότι το σύνολο όλων των ακατάλληλων σημείων του εκτεταμένου επιπέδου: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), παριστάνει μια ακατάλληλη γραμμή d∞ του εκτεταμένου επιπέδου, που είναι η αντίστροφη εικόνα του μοναδικού επιπέδου Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Ας συμφωνήσουμε ότι εδώ και στο εξής θα κατανοούμε την τελευταία ισότητα P0(O) = Π0 με την έννοια της ισότητας των συνόλων σημείων, αλλά προικισμένης με διαφορετική δομή. Συμπληρώνοντας το συγγενικό επίπεδο με μια ακατάλληλη γραμμή, εξασφαλίσαμε ότι η χαρτογράφηση (I.21) έγινε διχαστική στο σύνολο όλων των σημείων του εκτεταμένου επιπέδου:

Εικόνες επίπεδων και χωρικών μορφών κατά την παράλληλη σχεδίαση:

Στη στερεομετρία μελετώνται οι χωρικές μορφές, αλλά στο σχέδιο απεικονίζονται ως επίπεδες μορφές. Πώς πρέπει να απεικονίζεται μια χωρική φιγούρα σε ένα επίπεδο; Τυπικά στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται παράλληλος σχεδιασμός για αυτό. Έστω p ένα επίπεδο, μεγάλο- μια ευθεία που το τέμνει (Εικ. 1). Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο ΕΝΑ, που δεν ανήκει στη γραμμή μεγάλο, σχεδιάστε μια γραμμή παράλληλη προς τη γραμμή μεγάλο. Το σημείο τομής αυτής της ευθείας με το επίπεδο p ονομάζεται παράλληλη προβολή του σημείου ΕΝΑστο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας μεγάλο. Ας το χαρακτηρίσουμε ΕΝΑ«.Αν το σημείο ΕΝΑανήκει στη γραμμή μεγάλο, στη συνέχεια με παράλληλη προβολή ΕΝΑτο σημείο τομής της ευθείας θεωρείται ότι βρίσκεται στο επίπεδο p μεγάλομε αεροπλάνο σ.

Έτσι, κάθε σημείο ΕΝΑχώρο συγκρίνεται η προβολή του ΕΝΑ" στο επίπεδο p. Αυτή η αντιστοιχία ονομάζεται παράλληλη προβολή στο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας γραμμής μεγάλο.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού ενός επιπέδου. Παραδείγματα προβολικών μετασχηματισμών του επιπέδου. Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών. Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας. Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών.

Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού ενός επιπέδου:Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού γενικεύει την έννοια της κεντρικής προβολής. Αν κάνουμε μια κεντρική προβολή του επιπέδου α σε κάποιο επίπεδο α 1, τότε μια προβολή του α 1 σε α 2, α 2 σε α 3, ... και, τέλος, σε κάποιο επίπεδο α nπάλι στο α 1, τότε η σύνθεση όλων αυτών των προβολών είναι ο προβολικός μετασχηματισμός του επιπέδου α. Σε μια τέτοια αλυσίδα μπορούν επίσης να συμπεριληφθούν παράλληλες προβολές.

Παραδείγματα μετασχηματισμών προβολικού επιπέδου:Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός ολοκληρωμένου επιπέδου είναι η αντιστοίχιση ενός προς ένα στον εαυτό του, στην οποία διατηρείται η συγγραμμικότητα των σημείων ή, με άλλα λόγια, η εικόνα οποιασδήποτε γραμμής είναι μια ευθεία γραμμή. Οποιοσδήποτε προβολικός μετασχηματισμός είναι μια σύνθεση μιας αλυσίδας κεντρικών και παράλληλων προβολών. Ένας συγγενικός μετασχηματισμός είναι μια ειδική περίπτωση προβολικού μετασχηματισμού, στον οποίο η γραμμή στο άπειρο μετατρέπεται στον εαυτό της.

Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών:

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια γραμμή μετατρέπονται σε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια γραμμή.

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, το πλαίσιο γίνεται πλαίσιο.

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, μια ευθεία γραμμή πηγαίνει σε μια ευθεία γραμμή και ένα μολύβι σε ένα μολύβι.

Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας:

Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός επιπέδου που έχει μια ευθεία αμετάβλητων σημείων, και επομένως ένα μολύβι αμετάβλητων γραμμών, ονομάζεται ομολογία.

1. Μια ευθεία που διέρχεται από μη συμπίπτοντα αντίστοιχα σημεία ομολογίας είναι μια αμετάβλητη ευθεία.

2. Οι γραμμές που διέρχονται από μη συμπίπτοντα αντίστοιχα σημεία ομολογίας ανήκουν στο ίδιο μολύβι, το κέντρο του οποίου είναι αμετάβλητο σημείο.

3. Το σημείο, η εικόνα του και το κέντρο ομολογίας βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών:θεωρήστε την προβολική χαρτογράφηση του προβολικού επιπέδου P 2 στον εαυτό του, δηλαδή τον προβολικό μετασχηματισμό αυτού του επιπέδου (P 2 ’ = P 2).

Όπως και πριν, η σύνθεση f των προβολικών μετασχηματισμών f 1 και f 2 του προβολικού επιπέδου P 2 είναι το αποτέλεσμα της διαδοχικής εκτέλεσης των μετασχηματισμών f 1 και f 2: f = f 2 °f 1 .

Θεώρημα 1: το σύνολο H όλων των προβολικών μετασχηματισμών του προβολικού επιπέδου P 2 είναι μια ομάδα ως προς τη σύνθεση των προβολικών μετασχηματισμών.

Τετραγωνικό σχήμα Lαπό nΟι μεταβλητές είναι ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από αυτές τις μεταβλητές είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών.

Υποθέτοντας ότι σε τετραγωνική μορφή μεγάλοΗ μείωση παρόμοιων όρων έχει ήδη γίνει, ας εισάγουμε την ακόλουθη σημείωση για τους συντελεστές αυτής της φόρμας: ο συντελεστής for συμβολίζεται με , και ο συντελεστής στο γινόμενο for συμβολίζεται με . Δεδομένου ότι ο συντελεστής αυτού του γινόμενου θα μπορούσε επίσης να συμβολίζεται με , δηλ. Η σημείωση που εισαγάγαμε προϋποθέτει την εγκυρότητα της ισότητας. Ο όρος μπορεί τώρα να γραφτεί στη φόρμα

και ολόκληρη η τετραγωνική μορφή μεγάλο– με τη μορφή του αθροίσματος όλων των δυνατών όρων, όπου ΕγώΚαι ιπαίρνουν ήδη αξίες ανεξάρτητα η μία από την άλλη
από 1 έως n:

(6.13)

Οι συντελεστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n. ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής L, και η κατάταξή του είναι τάξηαυτή η τετραγωνική μορφή. Εάν, ειδικότερα, , δηλ. η μήτρα δεν είναι εκφυλισμένη, τότε είναι τετραγωνική μορφή μεγάλοπου ονομάζεται μη εκφυλισμένος. Αφού , τότε τα στοιχεία του πίνακα Α, συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. μήτρα Α - συμμετρικός. Αντίθετα, για οποιονδήποτε συμμετρικό πίνακα Α nτάξης μπορεί κανείς να ορίσει μια καλά καθορισμένη τετραγωνική μορφή (6.13) του nμεταβλητές που έχουν στοιχεία του πίνακα Α με τους συντελεστές τους.

Η τετραγωνική μορφή (6.13) μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό πίνακα που εισάγεται στην Ενότητα 3.2. Ας συμβολίσουμε με Χ μια στήλη που αποτελείται από μεταβλητές

Το X είναι ένας πίνακας με n γραμμές και μία στήλη. Μεταθέτοντας αυτόν τον πίνακα, λαμβάνουμε τον πίνακα , που αποτελείται από μία γραμμή. Η τετραγωνική μορφή (6.13) με πίνακα μπορεί τώρα να γραφτεί ως το ακόλουθο γινόμενο:

Πράγματι:

και καθορίζεται η ισοδυναμία των τύπων (6.13) και (6.14).

Καταγράψτε το σε μορφή μήτρας.

○ Ας βρούμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών, δηλ. 4, 1, –3 και άλλα στοιχεία – στα μισά των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Να γιατί

. ●

Ας μάθουμε πώς αλλάζει η τετραγωνική μορφή κάτω από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών.

Σημειώστε ότι εάν οι πίνακες Α και Β είναι τέτοιοι ώστε το γινόμενο τους να ορίζεται, τότε ισχύει η ισότητα:

(6.15)

Πράγματι, εάν οριστεί το γινόμενο ΑΒ, τότε θα οριστεί και το γινόμενο: ο αριθμός των στηλών του πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα. Στοιχείο μήτρας που στέκεται μέσα του Εγώη γραμμή και ιη στήλη, στον πίνακα AB βρίσκεται στο ιη γραμμή και Εγώη στήλη. Επομένως ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων ι-η σειρά του πίνακα A και Εγώη στήλη του πίνακα Β, δηλ. ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων της γραμμής ιη στήλη του πίνακα και Εγώη σειρά του πίνακα. Αυτό αποδεικνύει την ισότητα (6,15).

Έστω οι μεταβλητές μήτρας-στήλης Και σχετίζονται με τη γραμμική σχέση X = CY, όπου C = ( c ij) υπάρχει κάποιος μη ενικός πίνακας n-η σειρά. Στη συνέχεια η τετραγωνική μορφή

ή , Οπου .

Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός, αφού εν όψει της ισότητας (6.15), η οποία προφανώς ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων, και της ισότητας , που είναι ισοδύναμη με τη συμμετρία του πίνακα Α, έχουμε:

Έτσι, με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό X=CY, ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή

Σχόλιο. Η κατάταξη μιας τετραγωνικής μορφής δεν αλλάζει όταν εκτελείται ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός.

Παράδειγμα. Δίνεται τετραγωνική μορφή

Να βρείτε την τετραγωνική μορφή που προκύπτει από τον δεδομένο γραμμικό μετασχηματισμό

, .

○ Πίνακας δεδομένης τετραγωνικής μορφής , και τον πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού . Επομένως, σύμφωνα με το (6.16), ο πίνακας της επιθυμητής τετραγωνικής μορφής

και η τετραγωνική μορφή έχει τη μορφή . ●

Με μερικούς καλά επιλεγμένους γραμμικούς μετασχηματισμούς, η μορφή της τετραγωνικής μορφής μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά.

Τετραγωνικό σχήμα που ονομάζεται κανονικός(ή έχει κανονική άποψη), αν όλοι οι συντελεστές του είναι Εγώ≠ ι:

,

και ο πίνακας του είναι διαγώνιος.

Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Θεώρημα 6.1. Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών.

Παράδειγμα. Μειώστε την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή

○ Αρχικά, επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο της μεταβλητής, ο συντελεστής του τετραγώνου της οποίας είναι διαφορετικός από το μηδέν:

.

Τώρα ας επιλέξουμε το τετράγωνο της μεταβλητής της οποίας ο τετραγωνικός συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν:

Άρα, ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός

ανάγει αυτή την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή

.●

Η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής δεν ορίζεται μοναδικά, αφού η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή με πολλούς τρόπους. Ωστόσο, οι κανονικές μορφές που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους έχουν μια σειρά από κοινές ιδιότητες. Ας διατυπώσουμε μια από αυτές τις ιδιότητες ως θεώρημα.

Θεώρημα 6.2.(νόμος αδράνειας τετραγωνικών μορφών).

Ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές της τετραγωνικής μορφής δεν εξαρτάται από τη μέθοδο αναγωγής της φόρμας σε αυτή τη μορφή.

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή

που στο παράδειγμα που συζητήθηκε στη σελίδα 131 φέραμε στη φόρμα

ήταν δυνατό με την εφαρμογή ενός μη εκφυλισμένου γραμμικού μετασχηματισμού

φέρω στο νού

.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός των θετικών και αρνητικών συντελεστών (δύο και ένας, αντίστοιχα) έχει διατηρηθεί.

Σημειώστε ότι η κατάταξη μιας τετραγωνικής μορφής είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής.

Τετραγωνικό σχήμα ονομάζεται θετική (αρνητική) οριστική εάν, για όλες τις τιμές των μεταβλητών, τουλάχιστον μία από τις οποίες είναι μη μηδενική,

().

Κατά την επίλυση διαφόρων εφαρμοσμένων προβλημάτων, είναι συχνά απαραίτητο να μελετηθούν οι τετραγωνικές μορφές.

Ορισμός.Μια τετραγωνική μορφή L(, x 2, ..., x n) n μεταβλητών είναι ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή:

L( ,x 2 ,...,x n) =

Υποθέτουμε ότι οι συντελεστές της τετραγωνικής μορφής είναι πραγματικοί αριθμοί, και

Ο πίνακας A = () (i, j = 1, 2, ..., n), που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές, ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής.

Στη σημειογραφία πίνακα, η τετραγωνική μορφή έχει τη μορφή: L = X"AX, όπου X = (x 1, x 2,..., x n)" - μήτρα-στήλη μεταβλητών.

Παράδειγμα 8.1

Γράψτε την τετραγωνική μορφή L( , x 2 , x 3) = σε μορφή μήτρας.

Ας βρούμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών, δηλ. 4, 1, -3 και άλλα στοιχεία - στα μισά των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Να γιατί

L=( , x 2 , x 3) .

Με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό X = CY, ο πίνακας τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * = C "AC. (*)

Παράδειγμα 8.2

Δίνεται η τετραγωνική μορφή L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Βρείτε την τετραγωνική μορφή L(y 1 ,y 2) που προκύπτει από τον δεδομένο γραμμικό μετασχηματισμό = 2υ 1 - 3y 2, x 2 = y 1 + y 2.

Ο πίνακας μιας δεδομένης τετραγωνικής μορφής είναι A= , και ο πίνακας γραμμικού μετασχηματισμού είναι

C = . Επομένως, σύμφωνα με (*) μήτρα της απαιτούμενης τετραγωνικής μορφής

Και η τετραγωνική μορφή μοιάζει

L(y 1, y 2) = .

Πρέπει να σημειωθεί ότι με ορισμένους καλά επιλεγμένους γραμμικούς μετασχηματισμούς, η μορφή της τετραγωνικής μορφής μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά.

Ορισμός.Η τετραγωνική μορφή L( ,x 2 ,...,x n) = ονομάζεται κανονική (ή έχει κανονική μορφή) εάν όλοι οι συντελεστές της = 0 για i¹j:

L= και ο πίνακας του είναι διαγώνιος.

Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Θεώρημα.Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών.

Παράδειγμα 8.3

Μειώστε την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή

L( , x 2 , x 3) =

Αρχικά, επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο της μεταβλητής, ο συντελεστής του τετραγώνου της οποίας είναι διαφορετικός από το μηδέν:

Τώρα επιλέγουμε το τέλειο τετράγωνο για τη μεταβλητή της οποίας ο συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν:

Άρα, ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός

ανάγει αυτή την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή:

Η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής δεν ορίζεται μοναδικά, αφού η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή με πολλούς τρόπους. Ωστόσο, οι κανονικές μορφές που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους έχουν μια σειρά από κοινές ιδιότητες. Ας διατυπώσουμε μια από αυτές τις ιδιότητες ως θεώρημα.

Θεώρημα (νόμος αδράνειας τετραγωνικών μορφών).Ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές της τετραγωνικής μορφής δεν εξαρτάται από τη μέθοδο αναγωγής της φόρμας σε αυτήν τη μορφή.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν αλλάζει υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Ορισμός.Η τετραγωνική μορφή L(, x 2, ..., x n) ονομάζεται θετική (αρνητική) οριστική εάν, για όλες τις τιμές των μεταβλητών, τουλάχιστον μία από τις οποίες είναι μη μηδενική,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Ετσι, Για παράδειγμα, τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική και η μορφή είναι αρνητική οριστική.

Θεώρημα.Προκειμένου η τετραγωνική μορφή L = X"AX να είναι θετική (αρνητική) οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α να είναι θετικές (αρνητικές).