Профильная плоскость проекций определяется осями. Начертательная геометрия – что такое фронтальная плоскость

Плоскости частного положения

Плоскости относительно плоскостей проекций могут быть общего и частного положения. Плоскости частного положения - это плоскости перпендикулярные или параллельные какой-либо плоскости проекций.

Плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими.

1. Горизонтально проецирующая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций p 1 (рис. 4.3а).

Рис. 4.3а. Горизонтально проецирующая плоскость.

Фронтальный след S 1 перпендикулярен оси x . Профильный след S 3 перпендикулярен оси y .

Ða - угол наклона плоскости S к плоскости p 2 . Ðb - угол наклона плоскости S к плоскости p 3 . Горизонтальная проекция всех точек плоскости S совпадает с её горизонтальными следами.

2. Фронтально проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций p 2 (рис. 4.3б) горизонтальный след l 1 - перпендикулярен оси x , профильный след l 3 перпендикулярен оси z , Ðj - угол наклона плоскости l к плоскости p 1 . Ðb - угол наклона плоскости l к плоскости p 3 . Фронтальные проекция всех точек плоскости l совпадают с ее фронтальным следом.

Рис. 4.3б. Фронтально проецирующая плоскость.

3. Профильно проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций p 3 (рис. 4.3.в).

Рис. 4.3в. Профильно проецирующая плоскость.

Горизонтальный след D 1 перпендикулярен оси y , фронтальный след D 2 перпендикулярен оси z .

Ðj - угол наклона плоскости D к плоскости p 1 .Ða - угол наклона плоскости D к плоскости p 2 . Профильные проекции всех точек плоскости D совпадают с ее профильным следом.

Плоскости параллельные какой-либо из плоскостей проекций и перпендикулярные двум другим называются плоскостями уровня.

1. Горизонтальные плоскость уровня параллельна плоскости p 1 и перпендикулярна плоскостям p 2 и p 3 (рис. 4.4а).

Рис. 4.4а. Горизонтальные плоскость уровня.

Фронтальная и профильная проекции плоскости совпадают с ее следами G 1 и G 2 , которые перпендикулярны оси z . На горизонтальную плоскость p 1 любая фигура, расположенная в плоскости G, проецируется без искажения на p 1 .

2. Фронтальная плоскость уровня параллельна плоскости p 2 и перпендикулярна плоскостям p 1 и p 3 (рис. 4.4б).

Горизонтальная и профильная проекции плоскости совпадают с её следами q 1 и q 3 , которые перпендикулярны оси y . На фронтальную плоскость p 2 любая фигура, расположенная в плоскости q, проецируется без искажения.

Рис. 4.4б. Фронтальная плоскость уровня.

3. Профильная плоскость уровня параллельна плоскости p 3 и перпендикулярна плоскостям p 2 и p 3 (рис. 4.4в).

Рис. 4.4в. Профильная плоскость уровня.

Фронтальная и горизонтальная проекции плоскости совпадают с её следами Т 1 и Т 2 , которые перпендикулярны оси x . На профильную плоскость p 3 любая фигура, расположенная в плоскости Т, проецируется без искажения.

Свойства плоскостей частного положения:

1. Любая геометрическая фигура расположенная в плоскости, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, проецируется на соответствующий след этой плоскости.

2. Любая геометрическая фигура расположенная в плоскости уровня, проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна.

По изображению предмета на одной плоскости проекций во многих случаях нельзя судить о его форме и размерах. Предметы, показанные на рис. 4.3, – прямоугольная пластинка, треугольная призма, прямоугольный параллелепипед и параллелепипед с частью цилиндра, – дают в этом случае одинаковые проекции в виде прямоугольника.

По одной проекции можно судить лишь о двух измерениях предмета.

Но и две проекции предмета часто недостаточно полно отображают его форму. Так, например, две проекции прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.3, а, б ) неоднозначно отображают его форму. Такие две проекции могут иметь и треугольная призма (рис. 4.3, в ), и призма с закруглением (рис. 4.3, г ), и т.д.

Рис. 4.3.

Чтобы получить полное представление о форме и размерах предмета, его нужно спроецировать на две, три или более плоскостей. Для простоты проецирования эти плоскости располагают взаимно перпендикулярно. Таким образом, три плоскости образуют прямой трехгранный угол (рис. 4.4, а ). Каждой плоскости даны название и обозначение (рис. 4.4б а , б ).

Рис. 4.4.

Вертикальная плоскость, расположенная прямо перед нами, называется фронтальной плоскостью проекций. Она обозначается латинской буквой π 2. Под прямым углом к ней горизонтально располагается плоскость проекций, называемая горизонтальной плоскостью. Она обозначается латинской буквой π1. Перпендикулярно этим плоскостям располагается еще одна вертикальная плоскость, обозначенная буквой π3, называемая профильной плоскостью проекций. Попарное пересечение плоскостей трехгранного угла образует прямые линии – оси проекций, исходящие из точки О. Пересечение фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций образует ось х, фронтальной и профильной – ось z1, профильной и горизонтальной – ось у (рис. 4.4, б ).

На рис. 4.4, а изображен трехгранный угол. Его грани взаимно перпендикулярны и не лежат в одной плоскости. Однако чертеж выполняется на плоскости. Для того чтобы изображения, полученные на сторонах трехгранного угла, оказались в одной плоскости, две грани этого угла развертывают до совмещения с третьей гранью, т.е. до такого положения, когда все три плоскости трехгранного угла окажутся в одной плоскости. Для этого горизонтальную плоскость поворачивают вокруг оси х вниз на 90°, профильную плоскость – вокруг оси z на 90° вправо, как показано стрелками. Тогда обе эти плоскости совмещаются с неподвижной фронтальной. При этом горизонтальная плоскость располагается под фронтальной, а профильная – справа от нее (рис. 4.4, б ).

Ось у как бы распадается на две: у и у 1.

Линии, ограничивающие плоскости проекций квадратами, взяты условно и значения не имеют, поэтому их обычно не проводят. Тогда плоскости проекций изобразятся, как показано на рис. 4.4, в.

Комплексный чертеж предмета

Изучив, как строят проекции точек, отрезков прямых и плоских фигур, т.е. элементов, которые ограничивают различные предметы (изделия или их составные части), можно перейти к рассмотрению способов получения прямоугольных изображений самих предметов.

На рис. 4.5, а представлен прямой трехгранный угол. Перед его плоскостями помещен изображаемый предмет – упор. Он расположен так, чтобы возможно большее число его граней было параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Это значительно облегчает процесс проецирования.

Рис. 4.5.

Чтобы получить прямоугольные проекции изображаемого предмета, необходимо провести проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций.

Спроецируем упор на фронтальную плоскость проекций π2. Точки пересечения проецирующих лучей с этой плоскостью дадут проекции вершин упора. Соединив соответствующим образом эти точки, получим фронтальную проекцию, или вид спереди. Вид спереди называют также главным видом.

Построим проекцию упора на горизонтальной плоскости проекции π1 – вид сверху. Для этого опустим на горизонтальную плоскость перпендикуляры, проходящие через вершины упора, и полученные точки их пересечения с плоскостью соединим отрезками прямых.

Проведя проецирующие лучи на профильную плоскость проекций π3 и выполнив построения, аналогичные предыдущим, получим профильную проекцию изображаемого предмета – вид слева.

Сравнивая наглядное изображение упора с его проекциями (рис. 4.5, а ) и вспоминая изученное, можно установить следующее.

Во-первых, проекции упора на каждой из плоскостей проекций π2, π1, π3 представляют собой изображения не только одной стороны детали, но и всего предмета, всех его вершин, ребер и граней, если на горизонтальной и профильной проекциях штриховыми линиями показать невидимый сверху и слева контур детали. На фронтальной плоскости проекций видна лишь передняя грань упора. Это происходит потому, что боковые грани, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде отрезков прямых. Грани, параллельные соответствующим плоскостям проекций, изображаются без искажения размеров.

Во-вторых, ребра, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде точек (например, ребро АВ на горизонтальной плоскости проекций), а ребра, параллельные плоскости проекций, изобразились на ней в натуральную величину (например, ребро АВ на фронтальной и профильной плоскостях проекций).

В-третьих, наклонная грань упора ни на одной плоскости проекций не изобразилась в натуральную величину, хотя размер одной стороны этой грани можно измерить по проекции ее ребра, параллельного фронтальной плоскости проекций, а размер другой – по проекции ребра, параллельного горизонтальной и профильной плоскостям проекций, на одной из них.

Развернем плоскости проекций так, как это было показано на рис. 4.4, чтобы совместить их в плоскости чертежа (рис. 4.5, б ). Фронтальная плоскость π2 при этом остается неподвижной, горизонтальная π1 поворачивается вокруг оси х вниз на 90°, профильная π3 поворачивается вокруг оси z на 90° вправо. Тогда виды расположатся так: вид сверху – под главным видом, а вид слева – справа от главного вида и на уровне его.

Фронтальные и горизонтальные проекции одноименных точек находятся при этом на одних перпендикулярах к оси х (например, фронтальная а" и горизонтальная а проекции точки А , а их фронтальные и профильные проекции располагаются на одних перпендикулярах к оси z (например, фронтальная а" и профильная а" проекции точки А ). Эти перпендикуляры называют линиями связи. Таким образом, все три проекции упора оказываются связанными между собой. Положение любых двух проекций определяет положение третьей.

На чертежах не проводят рамки, ограничивающие плоскости проекций, и линии связи (см. рис. 4.4, в). Удалив их, мы получим чертеж, представленный на рис. 4.5, в.

Иногда изображения предмета на совмещенных плоскостях проекций называют комплексным чертежом.

Так строят чертежи в системе прямоугольных проекций. Однако нас интересует не только построение чертежей, но и чтение их, т.е. процесс представления пространственной формы предмета по его плоским изображениям.

Для того чтобы прочитать чертеж, нужно представить себе, в результате чего получилось на нем то или иное изображение, подумать, какое тело могло дать рассматриваемые проекции. При этом нельзя рассматривать проекции изолированно одну от другой. Необходимо мысленно объединить в единое целое представления о всех проекциях, данных на чертеже. 1

• Горизонтальные проекции точек будем обозначать без штриха (а ), фронтальные – с одним штрихом (а" ) и профильные – с двумя штрихами (в"). Читается: "а малое штрих", "а малое два штриха".

Это плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций: Ф || П 2 (рис. 2-10а, 2-10б).

Пространственный чертеж

Плоский четеж

Плоскость F задана DАВС , F - фронтальная плоскость уровня.

Þ Ф || П2 ; Ф1 ^ А 2 А 1 ; DАВС Ì Ф Þ А 1 В 1 С 1 = Ф 1 ; | A 2 B 2 C 2 | -натуральная величина DАВС

Графический признак:

Горизонтальная проекция Ф 1 фронтальной плоскости уровня - прямая линия, перпендикулярная линиям связи в системе П 1 –П 2 . Это -главная проекция.

Особые линии плоскости.

Если прямая принадлежит плоскости и занимает в ней какое-то особое положение, то она называется особой линией плоскости . К ним относятся линии уровня плоскости: горизонталь, фронталь и профильная прямая, а также линии наибольшего наклона плоскости.

Горизонталь плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций

Г (a || b) Построить: h Ì Г; h || П 1

1. Проводим h 2

1. Так как h принадлежит плоскости, то h 1 1Î а, 2Î b ). h 1 -натуральная величина h.

Построение горизонтали в плоскости начинают с фронтальной проекции h 2 П 2 –П 1 . h 1

Если плоскость - фронтально проецирующая, то горизонталь такой плоскости – фронтально проецирующая прямая (рис. 2-12).

Г(a || b) ^^ П 2 ; hÌ Г; h || П 1

Так как плоскость Г - фронтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П 1 - фронтально проецирующая прямая Þ h ^^ П 2

Фронталь плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций

S (m Ç n) Построить: f Ì S; f || П 2

1. Проводим f 1 перпендикулярно линиям связи.

2. Так как f принадлежит плоскости, то f 2 находим по двум точкам в плоскости (1Î m, 2Î n ).

Построение фронтали в плоскости начинают с горизонтальной проекции f 1 : она всегда перпендикулярна линиям связи в системе П 2 –П 1 . f 2 находят по принадлежности плоскости.

Это - натуральная величина f.

Если плоскость - горизонтально проецирующая, то фронталь такой плоскости - горизонтально проецирующая прямая (рис. 2-14).

S(m Ç n) ^^ П 1 ; f Ì S; f || П 2

Так как плоскость S - горизонтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П 2 - горизонтально проецирующая прямая Þ f ^^ П 1 .

Линия наибольшего наклона плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная одной из линий уровня плоскости. С её помощью определяют угол наклона заданной плоскости к одной из плоскостей проекций. Условимся линию наибольшего наклона плоскости к П 1 обозначать буквой g , к П 2 - буквой е.

Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската (рис. 2-15). Из физики известно, что шар, выпущенный из руки в точке А , покатится в плоскости Ф по линии ската g , перпендикулярной m - линии пересечения плоскостей Ф и П 1 .

Рассмотрим подробно построение этой линии на конкретном примере.

Задача: Определить угол наклона плоскости Ф к горизонтальной плоскости проекций

Пространственная модель.

Мерой двугранного угла является линейный угол. Следовательно, нам нужно определить угол между прямой g , перпендикулярной m (линии пересечения плоскостей Ф и П 1 ), и её горизонтальной проекцией g 1 (рис. 2-17).

Однако, в плоских чертежах линии пересечения заданных плоскостей с плоскостями проекций чаще всего отсутствуют. Поэтому, для построения линии g в плоскости Ф возьмём в этой плоскости горизонталь h (рис. 2-18).

Она будет располагаться параллельно m , так как m = Ф Ç П 1 , а h || П 1 .

Поскольку g ^ m , а h || m , то g ^ h .

Спроецируем h на П 1 , получим h 1 (рис. 2-19). Так как h || m , mo h 1 || m 1 .

Согласно теореме о проецировании прямого угла (2 свойство ортогонального проецирования), если g ^ h , mo g 1 ^ h 1 . Проводим g 1 (рис. 2-20).

Угол a между g u g 1 Ф к П 1 .

Таким образом, угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций - это угол между горизонтальной проекцией линии ската этой плоскости и её натуральной величиной.

Выполним алгоритмическую запись вышеизложенного:

Ф Ù П 1 = g Ù g 1 ; g ^ h Þ g 1 ^ h 1 .

Плоский чертёж.

Зададим плоскость Ф треугольником АВС (рис. 2-21).

Алгоритм решения задачи:

1. Проводим в плоскости Ф(АВС) горизонталь h(h 1 ,h 2) .

2. Проводим g 1 (B 1 K 1) ^ h 1 . Находим g 2 (B 2 K 2) по принадлежности плоскости.

3. Находим натуральную величину g методом прямоугольного треугольника (рис. 2-21).

4. Угол a между g 1 u g - есть угол наклона плоскости Ф(АВС ) к П 1 .

Полное решение задачи представлено на рис. 2-23.

Аналогично можно решить задачу на определение угла наклона плоскости Ф к П 2 . Для этого в плоскости Ф нужно взять фронталь, линию наибольшего наклона плоскости к П 2 - е строить перпендикулярно фронтали (е 2 ^ f 2 ® е ) и находить натуральную величину е на П 2 .

После вышесказанного, рассмотрим задание плоскости с помощью линии ската g (рис.2-24а) и линии наибольшего наклона плоскости к П 2 - е (рис.2-25а). В первом случае при решении конкретных задач к линии ската необходимо добавить горизонталь (h 2 ^ линиям связи, h 1 ^ g 1 ) (рис.2-24б); во втором к линии наибольшего наклона е добавляют фронталь (f 1 ^ линиям связи, f 2 ^ е 2 )(рис. 2-25б). В обоих случаях плоскость получается заданной пересекающимися прямыми.

Плоскость в пространстве может быть задана следующими способами:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;

прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

двумя параллельными прямыми;

двумя пересекающимися прямыми;

любой плоской фигурой.

Следует отметить, что минимально необходимое число точек для задания плоскости - три, поэтому при любых способах задания плоскости можно выделить эти три точки, не лежащие на одной прямой.

Построение проекций плоскости . Для задания плоскости на чертеже достаточно построить проекции точек, прямых или фигур, определяющих данную плоскость.

Например, на рис. 3.1 положение плоскости в пространстве определяют: любые три точки (А,В,С; A,C,D; A,B,D; B,C,D\ А,В,Е; В,С,Е\ C,D,E ), любой треугольник (ABC, ACD, ABD, BCD, ABE, ВСЕ, CDE), две параллельные прямые АВ и CD, две пересекающиеся прямые АС и BD.

Изменение положения в пространстве любой точки или прямой, принадлежащей плоскости, приведет к изменению положения в пространстве этой плоскости.

Плоскую фигуру можно построить из любого числа точек, но при этом необходимо помнить, что все диагонали плоской фигуры должны пересекаться, а точки пересечения проекций диаго­налей должны лежать на одной линии связи.

Трапеция ABCD на рис. 3.1 является плоской, так как ее диагонали АС и BD пересекаются в точке Е.

Подняв точку В выше, получим трапецию ABXCD (рис. 3.2), которая не является плоской, так как ее диагонали АС и B\D не пересекаются (АС и BXD - скрещивающиеся прямые) и точки пе­ресечения их проекций не лежат на одной линии связи.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций . Плоскость в пространстве может занимать общее положение , т. е. положение, при котором она не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, будет перпендикулярной (проецирующей) к двум другим плоскостям проекций, что очевидно из расположения трех взаимно-пер­пендикулярных плоскостей проекций системы параллельного пря­моугольного проецирования. Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются также плоскостями уровня.

Плоскость общего положения, как и прямая линия, может быть восходящей и нисходящей. Если точки плоскости поднимаются, удаляясь от наблюдателя, плоскость называется восходя­щей , если же они опускаются, - нисходящей.

На рис. 3.3, а точки плоскости, заданной треугольником ABC, удаляясь от наблюдателя по прямой BD, принадлежащей этой плоскости, от точки В к точке D, поднимаются вверх, следова­тельно, данная плоскость является восходящей. Плоскость EFH на рис. 3.3, б - нисходящая, так как ее точки, удаляясь от наблю­дателя по прямой FG , опускаются вниз.

Проецирующие плоскости в плоскостях проекций, к которым они перпендикулярны, вырождаются в прямую линию.

На рис. 3.4, а плоскость треугольника ABC, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей , плоскость треугольника DEF на рис. 3.4, б, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, - фронтально-проецирующей , а плоскость треугольника KLM на рис. 3.4, в, перпендикулярная профильной плоскости проекций, - профилъно-проецирующей.

Все линии, углы между ними, а также фигуры, лежащие в плос­кости уровня, проецируются на плоскость проекций в натураль­ном виде. При этом плоскости уровня могут быть горизонтальными, фронтальными и профильными.

Горизонтальная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) фронтальной и профильной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.5).

Фронтальная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) горизонтальной и профильной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.6).

Профильная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.7).

Взаимное положение точки и прямой относительно плоскости.

Точка может принадлежать плоскости или лежать вне ее.

Точка принадлежит плоскости, если находится на любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.8 точки А, В, С, D, Ей F принадлежат плоскости, образованной треугольником ЛВС , так как они лежат на прямых, образующих данный треугольник.

Точка не принадлежит плоскости, если не находится на любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

На чертеже, приведенном на рис. 3.9, видно, что через точку D нельзя провести никакую прямую, которая принадлежала бы плоскости треугольника ЛВС.

Прямая может лежать в плос­кости, быть параллельна плоско­сти или пересекать плоскость в какой-либо точке.

Прямая принадлежит плоско­сти, если две ее любые точки лежат в этой плоскости.

На рис. ЗЛО прямая BD принадлежит плоскости, образованной треугольником ЛВС, так как точки В и D лежат в этой плоскости.

Из множества прямых, принадлежащих плоскости, выделяют линии, параллельные плоскостям проекций. Эти линии, характеризующие направление плоскости в пространстве, называются главными линиями плоскости: горизонталь (параллельна горизонтальной плоскости проекций), фронталь (параллельна фронтальной плоскости проекций) и профильная прямая (параллельна профильной плоскости проек­ций).

В плоскости, образованной треугольником ABC на рис. 3.11, линия AD - горизонталь, АЕ - фронталь, a BF - профильная прямая.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.12 прямая FG параллельна прямой DE, лежащей в плоскости треугольника А ВС (так как проекция F"G" параллельна проекции D"E", а проекция F"G" параллельна проекции D"E"), следовательно, прямая FG параллельна плоскости ЛВС.

Прямая пересекает плоскость, если у них имеется единственная совместная точка.

На рис. 3.13 прямая FG пересекает прямую DE, лежащую в плоскости треугольника ЛВС , в точке К , следовательно, прямая

FG пересекает плоскость треугольника ABC в точке К, принадлежащей плоскости ЛВС.

Взаимное положение двух плоскостей . Плоскости могут сливаться в пространстве, быть параллельными или пересекаться.

Плоскости сливаются, если две прямые, принадлежащие одной плоскости, одновременно принадлежат и другой плоскости.

На рис. 3.14 плоскости, образованные параллелограммом ABCD и треугольником EFG , сливаются, так как на плоскостях проекций видно, что любые две прямые одной плоскости принадлежат и другой плоскости.

Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

На рис. 3.15 пересекающиеся прямые А В и ВС, лежащие в плоскости параллелограмма ABCD, соответственно параллельны пересекающимся прямым EF и FG, лежащим в плоскости треугольника EFG.

Плоскости пересекаются, если имеется единственная прямая линия, принадлежащая и той, и другой плоскости.

На рис. 3.16 прямая KL принадлежит и плоскости параллелограмма ABCD, и плоскости треугольника проекций EFG. При этом любые другие прямые, лежащие в плоскости параллелограм­ма, не принадлежат плоскости треугольника, и наоборот.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а - проекциями трех точек А, и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б - проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в - проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р v .

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P w .

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р x , Р y и Р z .

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P v и P w , параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р н и P w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P v и P н параллельными осям проекций Оу и Oz, - профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня . Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций - в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции - искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P v и Р н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения . Все три

следа P v , Р н и P w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости - одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой - на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой - на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v" или считать их следами искомой прямой (точнее, v" - фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v" и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v - горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h" - фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v"c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р v плоскости точку v" (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v" параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v" на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v".

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е"и f" пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е"и f" проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее - горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v", через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v" его пересечения с продолжением фронтальной проекции а"в" прямой АB. Соединив точки P x с v", находим фронтальный след P v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n" точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к".

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m" и к" до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n" проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n" находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а"и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av" .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную - через v" параллельно оси х, горизонтальную - через v параллельно следу Р н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а" искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a" точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости, найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а" до пересечения со следом Р Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а" находится на фронтальном следе Х v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее - при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция - отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная - трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P w и K w .

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P v , Р н и Q v ,Q h , необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v" и h (рис. 112, г); точка v" - фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h - горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v" и h на ось х, находим точки v и h". Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v" и h", v и h" получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Дана плоскость, заданная треугольником АВС, и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизонтальными и фронтальными проекциями. Требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника.

Для этого фронтальную проекцию отрезка m"n" продолжаем до пересечения с отрезками a"b" и c"d" (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е"к" проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q x . Из точки Q x к оси х восставляют перпендикуляр Q x Q y , который будет фронтальным следом Q v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P v и Q v - точку v" и следов Q н и P H - точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых - точки v" и h" - будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v"и h", v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m" этой точки расположена на пересечении проекций a"b" и v"h". Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m" до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Для этого через точки m" и n" проводят фронтальный след плоскости Р у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р у с осью х опускают перпендикуляр Р н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e"d" линии ED совпадает с m"n". Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е"и d" до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k" Точка К - искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а"b" перпендикулярна фронтальному следу Р у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d" точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f"a". Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1" и 2" проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m" точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m" и n", m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.