ВходПостроение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Функции и их графики
Функция у = и её график.
ЦЕЛИ:
1) ввести определение функции у = ;
2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;
3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;
I. Новый материал – развёрнутая беседа.
У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .
Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?
Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.
У: Такие функции принято задавать формулой вида
Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .
(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).
Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.
Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:
То есть у = - линейная функция.
У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-
симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.
Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.
Имеем: = = = 1 + .
График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.
| х | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| у | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| х | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| у | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).
Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.
График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.
| х | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| у | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| х | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| у | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).
У: Что является графиком дробно-линейной функции?
Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.
У: Как построить график дробно-линейной функции?
Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.
У: Какова область определения дробно-линейной функции?
У: Какова область значений дробно-линейной функции?
Д: Е(у) = .
У: Есть ли у функции нули?
Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.
У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?
Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.
У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.
У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?
Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?
Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .
(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)
II. Закрепление.
При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher
III. Обучающая самостоятельная работа.
- Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:
а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;
ж) у = з) у = -
Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.
Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и особенностей графиков этих функций.
ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = , используя программу Agrapher;
2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.
I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.
Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.
Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.
Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.
3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?
4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.
5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений функции.
6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = -. Выполните построение графика.
7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.
II.Лабораторно-практическая работа.
Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции ”.
- Постройте график указанной функции.
- Найдите область определения функции.
- Найдите область значения функции.
- Укажите асимптоты гиперболы.
- Найдите нули функции (f(x) = 0).
- Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).
7. Найдите промежутки в которых: а) у<0; б) y>0.
8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.
I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:
а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-
Дробно-рациональная функция
Формула у = k/ x , графиком является гипербола. В Части 1 ГИА данная функция предлагается без смещений вдоль осей. Поэтому у нее только один параметр k . Самое большое различие во внешнем облике графика зависит от знака k .
Труднее увидеть отличия в графиках, если k одного знака:
Как мы видим, чем больше k , тем выше проходит гипербола.
На рисунке приведены функции, у которых параметр k отличается существенно. Если же отличие не столь велико, то на глаз определить его достаточно сложно.
В этом плане просто «шедевром» является следующее задание, обнаруженное мною в неплохом в целом пособии по подготовке к ГИА:
Мало того, что на довольно мелкой картинке близко расположенные графики просто сливаются. Так еще и гиперболы с положительными и отрицательными kизображены в одной координатной плоскости. Что полностью дезориентирует любого, кто взглянет на этот рисунок. В глаза бросается просто «прикольная звездочка».
Слава Богу, это просто тренировочная задача. В реальных вариантах предлагались более корректные формулировки и очевидные рисунки.
Разберемся, как же определить коэффициент k по графику функции.
Из формулы: у = k / x следует, что k = у·х . То есть мы можем взять любую целочисленную точку с удобными координатами и перемножить их - получим k .
k = 1·(- 3) = - 3.
Следовательно формула этой функции: у = - 3/х .
Интересно рассмотреть ситуацию с дробным k. В этом случае формула может быть записана несколькими способами. Это не должно вводить в заблуждение.
Например,
На данном графике невозможно найти ни одной целочисленной точки. Поэтому значение k можно определить весьма приближенно.
k = 1·0,7≈0,7. Однако можно понять, что 0 < k < 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
Итак, обобщим.
k > 0 гипербола располагается в 1-й и 3-ем координатных углах (квадрантах),
k < 0 - во 2-м и 4-ом.
Если k по модулю больше 1 (k = 2 или k = - 2), то график располагается выше 1 (ниже - 1) по оси у, выглядит более широким.
Если k по модулю меньше 1 (k = 1/2 или k = - 1/2), то график располагается ниже 1 (выше - 1) по оси у и выглядит более узким, «прижатым» к нулю:
Дробно-линейная функция изучается в 9 классе после того, как изучены некоторые другие виды функций. Именно об этом говорится в начале урока. Здесь речь идет о функции y=k/x, где k>0. По словам автора, дана функция рассматривалась школьниками ранее. Поэтому с ее свойствами они знакомы. Но одно свойство с указанием особенностей графика этой функции автор предлагает вспомнить и рассмотреть подробно на этом уроке. Это свойство отражает прямую зависимость значения функции от значения переменной. А именно, при положительном x, стремящемся к бесконечности, значение функции также положительно и стремится к 0. При отрицательном x, стремящемся к минус бесконечности, значение y - отрицательно и стремится к 0.
Далее автор отмечает, как это свойство проявляется на графике. Так постепенно обучающиеся знакомятся с понятием асимптоты. После общего ознакомления с этим понятием следует его четкое определение, которое выделено яркой рамкой.
После того, как введено понятие асимптоты и после его определения автор обращает внимание на то, что гиперболы y=k/xпри k>0 имеет две асимптоты: это оси xи y. Точно такая же ситуация и с функцией y=k/xпри k<0: функция имеет две асимптоты.
Когда основные моменты подготовлены, знания актуализированы, автор предлагает перейти к непосредственному изучению нового вида функций: к изучению дробно-линейной функции. Для начала предлагается рассмотреть примеры дробно-линейной функции. На одном таком примере автор демонстрирует, что в качестве числителя и знаменателя выступают линейные выражения или, другими словами, многочлены первой степени. В случае числителя может выступать не только многочлен первой степени, но и любое число, отличное от нуля.
Далее автор переходит к демонстрации общего вида дробно-линейной функции. При этом он подробно расписывает каждый компонент записанной функции. Также поясняется, какие коэффициенты не могут быть равны 0. Эти ограничения автор расписывает и показывает, что может произойти, если эти коэффициенты окажутся нулевыми.
После этого автор повторяет, как получается график функции y=f(x)+nиз графика функции y=f(x). Урок на данную тему можно также найти в нашей базе. Здесь же отмечается то, как построить из этого же графика функции y=f(x) график функции y=f(x+m).
Все это демонстрируется на конкретном примере. Здесь предлагается построить график определенной функции. Все построение идет поэтапно. Для начала предлагается выделить из данной алгебраической дроби целую часть. Выполнив необходимые преобразования, автор получает целое число, которое прибавляется к дроби с числителем, равным числу. Так график функции, которая представляет собой дробь, можно построить из функции y=5/xпосредством двойного параллельного переноса. Здесь же автор отмечает, как переместятся асимптоты. После этого строится система координат, переносятся асимптоты на новое местоположение. Затем строятся две таблица значений для переменной x>0 и для переменной x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.
Далее рассматривается еще один пример, где перед алгебраической дробью в записи функции присутствует минус. Но это ничем не отличается от предыдущего примера. Все действия проводятся аналогичным образом: функция преобразовывается к виду, где выделяется целая часть. Затем переносятся асимптоты, и строится график функции.
На этом объяснение материала заканчивается. Длится этот процесс 7:28 минут. Примерно столько времени требуется учителю на обычном уроке для объяснения нового материала. Но для этого необходимо заранее хорошенько подготовится. Но если взять за основу данный видеоурок, то подготовка к уроку займет минимум времени и сил, а обучающимся понравится новый метод обучения, предлагающий просмотр видеоурока.
“СУБАШСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА” БАЛТАСИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА
РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН
Разработка урока - 9 класса
Тема: Дробно – линейная функ ция
квалификационной категории
Гарифуллин а Раил я Рифкатовна
201 4
Тема урока: Дробно – линейная функция.
Цель урока:
Образовательная: Познакомить учащихся с понятиями дробно – линейная функция и уравнение асимптот;
Развивающая: Формирование приемов логического мышления, развитие интереса к предмету; развить нахождение области определеиия, области значения дробно – линейной функции и формирование навыков построения её графика;
- мотивационная цель: воспитание математической культуры учащихся, внимательности, сохранение и развитие интереса к изучению предмета через применение различных форм овладения знаниями.
Оборудование и литература: Ноутбук, проектор, интерактивная доска, координатная полскость и график функции у= , карта рефлексии, мультимедийная презентация, Алгебра: учебник для 9 класса основной общеобразовательной школы/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под редакции С.А.Теляковского / М: “Просвещение”, 2004 с дополнениями.
Тип урока:
урок совершенствования знаний, умений, навыков .
Ход урока.
I организационный момент:
Цель: - развитие устных вычислительных навыков;
повторение теоретических материалов и определений необходимых для изучения новой темы.
Добрый день! Начинаем урок с проверки домашнего задания:
Внимание на экран (слайд 1-4):
Задание - 1.
Отвечайте, пожалуйста, по графику данной функции на 3 вопрос (найти наибольшее значение функции, ...)
( 24 )
Задание -2. Вычислите значение выражения:
-
=
Задание -3: Найдите утроенную сумму корней квадратного уравнения:
Х 2 -671∙Х + 670= 0.
Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю:
1+(-671)+670 = 0. Значит, х 1 =1 и х 2 = Следовательно,
3∙(х 1 +х 2 )=3∙671=2013
А теперь запишем последовательно ответы на все 3 задания через точки. (24.12.2013.)
Результат: Да, все верно! И так, тема сегоднешнего урока:
Дробно – линейная функция.
Прежде чем выезжать на дорогу, водитель должен знать правила дорожного движения: запрещающие и разрешающие знаки. Нам с вами сегодня тоже нужно вспомнить некоторые запрещающие и разрешающие знаки. Внимание на экран! (Слайд-6
)
Вывод:
Выражение не имеет смысла;
Верное выражение, ответ: -2;
верное выражение, ответ: -0;
нельзя разделить на ноль 0!
Обратите внимание, все ли верно записано? (слайд – 7)
1) ; 2) = ; 3) = a .
(1) верное равенство, 2) = - ; 3) = - a )
II. Изучение новой темы: (cлайд – 8).
Цель: Научить навыкам нахождения области определеиия и области значения дробно – линейной функции, построение её графика с использованием параллельного переноса графика функции по оси абсцисс и ординат.
Определите, график какой функции задан на координатной плоскости?
Задан график функции на координатной плоскости.
Вопрос
Ожидаемый ответ
Найти область определения функции, (D ( y )=?)
Х ≠0, или (-∞;0]UUU
Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Ох (абцисс) на 1 единицу направо;
График какой функции построили?
Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Оу (ординат) на 2 единицы вверх;
А теперь, график какой функции построили?
Проводим прямые х=1 и у=2
Как вы думаете? Какие прямые мы с вами получили?
Это те прямые , к которой приближаются точки кривой графика функции по мере их удаления в бесконечность .
И они называются – асимптотами.
То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее.
Молодцы! А теперь сделаем вывод:
Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде: у=
где n – количество единиц, на которое гипербола смещается вправо или влево, m – количество единиц, на которое гипербола смещается вверх или вниз. При этом асимптоты гиперболы сдвигаются в прямые x = m, y = n.
Приведём примеры дробно – линейной функции:
; .
Дробно-линейная функция – это функция вида y = , где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.
с≠0 и ad - bc ≠0, так как при с=0 функция превращается в линейную функцию.
Если ad - bc =0, получается сократимая дробь значение, которое приравняется (т.е. константа).
Свойства дробно-линейной функции:
1. При возрастании положительных значений аргумента значения функции убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.
2. При возрастании положительных значений функции значения аргумента убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.
III – закрепление пройденного материала.
Цель: - развивать навыки и умения представления формул дробно-линейной функции к виду:
Закрепить умений составления уравнений асимптота и построения графика дробно – линейной функции.
Пример -1:
Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде .
=
(слайд-10)
Физкультминутка:
(разминку ведет - дежурный)
Цель: - снятие умственной нагрузки и укрепление состояние здоровья учащихся.
Работа с учебником: №184.
Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде у=k/(х-m)+n .
=
де х≠0.
Запишем уравнение асимптота: х=2 и у=3.
Значит, график функции перемещается по оси Ох на расстоянии 2 единиц справа от нее и по оси Оу на расстоянии 3 единицы выше ее.
Групповая работа:
Цель: - формирование умений выслушать других и в то же время конкретно высказать свое мнение;
воспитание личности, способной лидерству;
воспитание у учащихся культуры математичекой речи.
Вариант № 1
Дана функция:
.
.
Вариант № 2
Дана функция
1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.
2. Найдите область определения функции
3. Найдите множество значений функции
1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.
2. Найдите область определения функции.
3. Найдите множество значений функции.
(Та группа, которая закончила работу первым, готовится для защиты групповой работы у доски. Проводится анализ работ.)
IV. Подведение итогов урока.
Цель: - анализ теоретической и практической деятельности на уроке;
Формирование навыков самооценки у учащихся;
Рефлексия, самооценка активности и сознательности учащихся.
И так, дорогие мои ученики! Урок подходит к концу. Вам предстоит заполнить карту рефлекции. Аккуратно и разборчиво пишите свои мнения
Фамилия и имя ________________________________________
Этапы урока
Определение уровня слож-ности этапов урока
Ваше нас-троение
Оценка вашей деятельности на уроке, 1-5 балл
легкий
ср.тяж.
трудный
Организационный этап
Изучение нового материала
Формирование навы-ков умения построе-ния графика дробно – линейной функции
Работа в группах
Общее мнение об уроке
Домашнее задание:
Цель: - поверка уровня освоения данной темы.
[п.10* , №180(а), 181(б).]
Подготовка к ГИА: (Работа на “ Виртуальном факультативе” )
Задание из серии ГИА (№23 -максимальный балл):
Постройте график функции У=
и определите, при каких значениях с прямая у=с имеет с графиком ровно одну общую точку.
Вопросы и задания опубликуется с 14.00 до 14.30 ч.
1. Дробно-линейная функция и ее график
Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.
С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.
Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида
y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.
Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.
Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.
Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.
Пример 3.
Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Выделим у дроби «целую часть»:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.
Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
Ответ: рисунок 1.
2. Дробно-рациональная функция
Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.
Примеры таких рациональных функций:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.
Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.
Построение графиков дробно-рациональных функций
Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.
Пример 4.
Построить график функции y = 1/x 2 .
Решение.
Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.
Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Область значений E(y) = (0; +∞).
Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.
Ответ: рисунок 2.
Пример 5.
Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.
Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.
Ответ: рисунок 3.
Пример 6.
Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Решение.
Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.
Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.
Ответ: рисунок 4.
Пример 7.
Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.
Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.
Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.