Коэффициент диффузии формула. Большая энциклопедия нефти и газа

Коэффициенты диффузии

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Коэффициенты диффузии
Рубрика (тематическая категория)	Спорт

Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил данный путь как расстояние, проходимое частицей жидко­сти до потери своей индивидуальности вследствие смешения с ок­ружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характе­ризует перемешивающую способность потока. Это понятие ис­пользуют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузион­ных процессах основным является процесс выравнивания содержа­ния, путь перемешивания определяют как расстояние, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследст­вие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выраже­ние ʼʼпотеря индивидуальностиʼʼ толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания принято называть путем пе­ремешивания для содержания.

В случае если воздушный поток представить как совокупность шарооб­разных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для со­держания не равны друг другу, хотя до недавнего времени послед­ний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение должна быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.

Каждый из существующих четырех механизмов рас­пространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вы­теснения) характеризуется определœенным количеством газа, пере­носимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распростране­ния существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расшире­ния".

В случае если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объёме Q в вектор его расхода че­рез рассматриваемую поверхность за счёт конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа

J k = Q г / S= с U, (6.5)

а его компоненты по осям координат

j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной ско­рости U .

При определœении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):

j м = - D м ·grad c , (6.7)

где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)

D м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление моле­кулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, ᴛ.ᴇ. поток, направлен в сторону падения со­держания.

Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинœеска о переносœе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:

j т = - D т ·grad c , ; (6.11)

j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)

где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диф­фузии.

Поток расширения - поток конвективный. В случае если некоторый объ­ем газовоздушной смеси со средним по объёму содержанием газа с расширяется за счёт ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)

где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения должна быть положительным (газовыделœение происходит в рассматриваемый объём) и отрицательным (в рас­сматриваемом объёме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем ба­лансе газопереноса в выработке определяется конкретными усло­виями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбу­лентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (к примеру, камеры больших сече­ний) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффу­зионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диф­фузии и расширения (в случае выделœения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентно­стью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз ак­тивнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечно­го сечения 10 м 2 . Удельное газовыделœение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделœение на рассматриваемом участ­ке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следователь­но, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. В случае если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответ­ствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделœению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и рав­ном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).

В выражениях для диффузионных газовых потоков ко­эффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Ес­тественно, что эти величины имеют сложный характер, и их опре­делœение - одна из важных задач теории диффузионных процессов.

Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходны­ми молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффици­ента молекулярной диффузии:

,

где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теп­лового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.

В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяю­щийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьша­ется в обратно пропорциональной зависимости.

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диф­фузия имеет подчинœенное значение в процессе переноса газов. Вместе с тем, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относитель­но невелики. По этой причине при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффу­зии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии сре­ды в данный газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулент­ности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вво­дится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинœеску, как коэффициент пропорционально­сти между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, в случае если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не должна быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вслед­ствие различия компонент пульсационных скоростей.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор.
Размещено на реф.рф
Можно пока­зать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выра­жение:

(6.17)

(6.18)

(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диф­фузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .

Выражение (6.17) должна быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, в случае если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. В случае если тензор симмет­ричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диаго­нальными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинœеарны*. Следова­тельно, согласно определœению, направление вектора gradс являет­ся главным направлением тензора, а ось координат, соответствую­щая ему, - главной осью. Нахождение главных осœей тензора коэф­фициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неоп­ределœенная, так как для этого крайне важно знать поверхности рав­ных содержаний в потоке, ᴛ.ᴇ. поле содержаний, что обычно явля­ется конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления бывают определœены достаточ­но просто. К примеру, при газовыделœении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому бо­ку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случа­ях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также опре­делœенным допущением. Стоит сказать, что для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выра­ботке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэф­фициентов турбулентной диффузии бывают выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержа­ния (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Важно заметить, что для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . При этом для неизотроп­ных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Не­симметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фак­тором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в призем­ном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). При этом степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосфер­ных, что может привести к крайне важно сти учета факта несиммет­ричности тензора диффузии.

Второй способопределœения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j ); i = j = х,у,z; ; L c - путь перемешивания для содержа­ния.

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинœеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределœенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().

В случае плоского потока () коэффициент турбу­лентной диффузии в поперечном к основному движению направ­лении определяется из выражения (6.21):

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

ᴛ.ᴇ. в данном частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

В случае если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим вы­ражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. В случае если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы отно­сительно величин l С (), можно, измеряя в потоке, опреде­лить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым до­пущением является отождествление l с путем перемешивания для импульса l ; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в данном направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропор­циональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объёме и в среде. По имеющимся сведениям, данный коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оце­нить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затуха­ние турбулентности под действием объёмных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определœения коэффициента турбулент­ной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентри­рованных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в данном слу­чае коэффициент турбулентной диффузии является тензором вто­рого ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

,

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины слу­чайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. Сегодня практически ничего неизвестно о недиагональных компо­нентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты на­писания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбу­лентной диффузии является функцией координат. Это можно ви­деть, к примеру, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длинœе выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зави­симости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных вы­работках немногочисленны, что в значительной степени объясня­ется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведе­ния частично основываются на данных о коэффициенте турбулент­ного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность попереч­ных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - вы­сота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных со­ставляющих коэффициента диффузии. Их значения в яд­ре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, в случае если использо­вать средние по высоте (ширинœе) выработки значения коэффициен­тов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии должна быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Важно заметить, что для случая однородной и изо­тропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без гради­ента скорости) распределœение содержания газа в газовом факелœе за источником газовыделœения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответст­вующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направле­нию движения воздуха; и - скорость потока воздуха.

В случае если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . К примеру, полагая с = с mах /2, получим

D т =, (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его попе­речном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измере­нию: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента͵ - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффу­зии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных пото­ков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направле­нии основного течения (при неизменных форме сечения, шерохо­ватости стен и расходе воздуха). По этой причине для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компонен­ты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источ­ник попадает в области всœе большего градиента скорости, ᴛ.ᴇ. всœе большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при те­чениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахт­ных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рам­ной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относи­тельной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, го­ризонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 при­ведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата͵ перпендику­лярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относитель­ных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные про­изводится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линœейный размер потока (к примеру, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ши­рина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сече­ния 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8

Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .- площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y состав­ляют порядка 10 -3 м /с.

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеи­вание газа в потоке за счёт работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) ско­рости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 ᴦ. В.Н. Воронин показал, что при движении газового об­лака по выработке его продольная деформация определяется про­филем скоростей. В 1953 ᴦ. Дж. Тэйлор опубликовал решение зада­чи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рас­сеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсация­ми скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, дви­жущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D

Коэффициент D э должна быть определœен в точке или быть усред­ненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили полу­чить следующее выражение для эффективного коэффициента диф­фузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

Здесь v - кинœематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выра­ботки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления вы­работки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эф­фективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где, а число Рейнольдса рассчитывают по . Зна­чение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определœению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости кана­ла на коэффициент диффузии, сделали вывод, что данный фактор мо­жет увеличивать D э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии сво­бодных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осœевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;

а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от на­чальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитан­ные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объёмах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объёмах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограни­ченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим измене­нием коэффициента структуры а.

Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)

С учетом п - отношения ширины камеры к ширинœе выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент струк­туры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Коэффициенты диффузии - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Коэффициенты диффузии" 2017, 2018.

Коэффициенты диффузии

В выражениях для диффузионных газовых потоков ко­эффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Ес­тественно, что эти величины имеют сложный характер, и их опре­деление - одна из важных задач теории диффузионных процессов.

Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходны­ми молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффици­ента молекулярной диффузии:

где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теп­лового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.

В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяю­щийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьша­ется в обратно пропорциональной зависимости.

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диф­фузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относитель­но невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффу­зии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии сре­ды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулент­ности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вво­дится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорционально­сти между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вслед­ствие различия компонент пульсационных скоростей.

Таким образом, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор. Можно пока­зать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выра­жение:

(6.17)

(6.18)

(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диф­фузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симмет­ричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диаго­нальными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следова­тельно, согласно определению, направление вектора gradс являет­ся главным направлением тензора, а ось координат, соответствую­щая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэф­фициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неоп­ределенная, так как для этого необходимо знать поверхности рав­ных содержаний в потоке, т.е. поле содержаний, что обычно явля­ется конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления могут быть определены достаточ­но просто. Например, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому бо­ку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случа­ях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также опре­деленным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выра­ботке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэф­фициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержа­ния (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотроп­ных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Не­симметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фак­тором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в призем­ном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосфер­ных, что может привести к необходимости учета факта несиммет­ричности тензора диффузии.

Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j ); i = j = х,у,z; ; L c - путь перемешивания для содержа­ния.

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().

В случае плоского потока () коэффициент турбу­лентной диффузии в поперечном к основному движению направ­лении определяется из выражения (6.21):

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

Если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим вы­ражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы отно­сительно величин l С (), можно, измеряя в потоке, опреде­лить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым до­пущением является отождествление l с путем перемешивания для импульса l ; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропор­циональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~ , для гелия ~ . Имеются попытки оце­нить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затуха­ние турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулент­ной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентри­рованных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом слу­чае коэффициент турбулентной диффузии является тензором вто­рого ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

,

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины слу­чайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компо­нентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты на­писания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбу­лентной диффузии является функцией координат. Это можно ви­деть, например, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зави­симости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных вы­работках немногочисленны, что в значительной степени объясня­ется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведе­ния частично основываются на данных о коэффициенте турбулент­ного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность попереч­ных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - вы­сота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных со­ставляющих коэффициента диффузии . Их значения в яд­ре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использо­вать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициен­тов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изо­тропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без гради­ента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответст­вующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направле­нию движения воздуха; и - скорость потока воздуха.

Если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . Например, полагая с = с mах /2, получим

D т = , (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его попе­речном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измере­нию: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффу­зии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных пото­ков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направле­нии основного течения (при неизменных форме сечения, шерохо­ватости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компонен­ты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источ­ник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при те­чениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахт­ных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рам­ной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относи­тельной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, го­ризонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 при­ведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата, перпендику­лярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относитель­ных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные про­изводится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (например, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ши­рина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сече­ния 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8

Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

Для элемента S (м 2) поперечного сечения штрекообразной выра­ботки при средней скорости по площади элемента и" ср (м/с):

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

где R - радиус трубы.

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

где k : = 3,96·10 -4 м.

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

Динамическая скорость, м/с;

u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;

α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;

r -плотность воздуха, кг/м 3 ;

ν - кинематический коэффициент вязко­сти, м 2 /с;

S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y состав­ляют порядка 10 -3 м /с.

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеи­вание газа в потоке за счет работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) ско­рости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового об­лака по выработке его продольная деформация определяется про­филем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение зада­чи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рас­сеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсация­ми скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, дви­жущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D Э:

D Э = D г = D тх , (6.35)

где D г - коэффициент диффузии, вызываемый наличием градиента скорости (коэффициент градиентной диффузии, или коэффициент дисперсии, по Дж.Тэйлору виртуальный, эффективный, действи­тельный коэффициент диффузии); D тх - коэффициент продольной турбулентной диффузии.

Газовый поток, вызываемый градиентной диффузией, определя­ется выражением

, (6.36)

где , - отклонения соответственно содержания и скорости потока в точке от их средних по поперечному сечению значений;

с , и - соответственно усредненное по времени содержание и ско­рость потока в точке; - их средние по поперечному сечению значения.

Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усред­ненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили полу­чить следующее выражение для эффективного коэффициента диф­фузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выра­ботки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления вы­работки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эф­фективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где , а число Рейнольдса рассчитывают по . Зна­чение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости кана­ла на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор мо­жет увеличивать D э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии сво­бодных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;

; (6.45)

а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от на­чальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитан­ные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограни­ченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим измене­нием коэффициента структуры а.

Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент струк­туры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Подобное явление было установлено при распростране­нии свободных ветровых струй в карьерах.

По В.Н. Воронину, коэффициент турбулентной диффузии струи, и начальном сечении которой уже имеется некоторое количество газа с содержанием с 0 (частично загазованная струя), определяется по формуле

. (6.46)

При этом принимается, что коэффициент турбулентной диффузии не зависит от турбулентной структуры газовоздушной среды вне свободной струи, т.е. газообмен между струей и средой определяется лишь течением в струе, а это, видимо, справедливо только для затопленных струй, распространяющихся в неограни­ченном пространстве. Поскольку через границу свободной струи происходит обмен турбулентными массами, то турбулентная структура струи должна зависеть от структуры движения и энергии привносимых в нее извне масс. При исследованиях затопленных струй, распространяющихся в ограниченных пространствах (карь­еры, тупиковые выработки, камеры и т.п.), была установлена завиисимость их угла раскрытия [а следовательно, в соответствии с формулой (6.36) - и коэффициента структуры струи] от геометрии ограничивающих поверхностей, что должно быть связано с турбулентной структурой вторичных токов, заполняющих пространство между ограничивающими поверхностями и границей свободной струи*.

В общем случае структура вторичных токов должна зависеть от начального расхода воздуха в струе, и для точного описания газообменных процессов, связанных с распространением свободных струй, с помощью коэффициента турбулентной диффузии В.Н. Во­ронина необходимо определить зависимости его от диффузион­ных свойств внешней среды (например, от коэффициента диффузии D т.

Более строгим является исследование процессов газопереноса в свободных струях на основе ранее рассмотренных коэффициен­тов турбулентной диффузии и эффективных коэффициентов диф­фузии. Исследования для их установления применительно к струй­ным движениям в горных условиях были выполнены К.Ю. Лайгна, Э.А. Поттером и О.А. Суллакатко. Ими впервые получены выра­жения для расчета коэффициентов турбулентной диффузии огра­ниченной (степенной) струи , в частности, для эффективных коэффициентов продольной турбулентной диффузии:

круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:

плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:

(6.49)

Здесь - коэффициент стеснения струи; S - площадь поперечного сечения выработки; d - начальный диаметр струи; и - средняя начальная скорость струи; Н, В - соответственно высота и ширина выработки; b - начальная ширина струи.

ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ

Общие положения

Во многих случаях по­лезные результаты могут быть получены более простым инте­гральным методом.

Интегральный метод, или метод усредненных характеристик, ос­нован на том факте, что локальные газодинамические эффекты в ко­нечном итоге выступают в виде некоторых обобщенных, или инте­гральных, усредненных закономерностей, таких, например, как изме­нение среднего по сечению содержания газа на выходе из забоя, уча­стка, шахты, изменение суммарного дебита газа из выработанного пространства в выработку и др. Предметом интегрального метода анализа является исследование газодинамических процессов в шах­тах, описанных в терминах усредненных характеристик. В интеграль­ном методе использованы такие усредненные характеристики процес­са, как средняя скорость движения, среднее содержание и т.п. Усреднение может производиться по одному, двум, трем измерениям, а также во времени*. Использование усредненных характеристик не требует знания их полей, что существенно упрощает аппарат анализа, а также турбулентных характеристик потока, которые в этом методе обычно учитываются эмпирическими константами. Число параметров процесса сокращается. Все это делает интегральный метод достаточно простым и легко приводящим к конкретным результатам.

Однако замена локальных значений характеристик их усреднен­ными значениями не всегда может пройти без заметного снижения достоверности получаемых результатов. В качестве примера можно привести расчет расхода воздуха по среднему содержанию метана для выработок, где имеются слоевые скопления газа: при достаточ­ности полученного расхода в среднем он не всегда может обеспе­чить ликвидацию зон высокого содержания газа в пристеночных областях. В общем, правомерность и погрешность использования ме­тода средних характеристик определяется их различиями, как в точке, так и во всей области движения, причем, чем больше области, где эти различия существенны, тем менее правомерно использование этого метода и тем больше возни­кающая при этом погрешность.

Основным соотношением интегрального метода является соот­ношение между содержанием газа с , объемным расходом газа J и расходом газовоздушной смеси Q* :

Если J и Q взаимонезависимы, изменение содержания прямо пропорционально расходу газа и обратно пропорционально расхо­ду воздуха. В частности, монотонному изменению расхода воздуха в этом случае соответствует монотонное изменение содержания газа.

В ряде случаев расход газа в выработке зависит от расхода воз­духа. При этом возможно появление так называемых переходных газодинамических процессов, при которых обратно пропорцио­нальная зависимость между с и Q нарушается. В общем имеющий практическое значение характер зависимости с(Q) определяется соотношением (7.1) и зависимостью с (J ).

Основой метода усредненных характеристик является закон сохранения массы, который применяется к участку выработки конечной длины или к выработке в целом. Для выбранного участка определяют­ся интегральные газовые потоки, поступающие в выработку и вы­ходящие из нее, от всех действующих в выработке источников га­зовыделения. Алгебраическая сумма поступления газа в выработку и его выноса в виде этих потоков за некоторый промежуток време­ни определяет изменение газосодержания в объеме рассматривае­мой выработки за этот же период.

Под интегральным газовым потоком от i -го источника понима­ется количество газа, поступающее в рассматриваемую выработку в единицу времени. Если i -й интегральный газовый поток в выра­ботку объема V обозначить через J i то, согласно закону сохранения массы и в соответствии с вышесказанным, получим следующее наиболее общее дифференциальное уравнение переноса газа:

(7.3)

где п - число интегральных газовых потоков в выработке; ее - из­менение среднего содержания газа в выработке за период времени

В стационарном случае

Интегральные газовые потоки могут поступать в выработку (вы­ходить из нее) либо со струей воздуха, либо с ее твердых границ.

Интегральный газовый поток, вносимый (выносимый) в выра­ботку вентиляционной струей,

(7.5)

где с ср - среднее содержание газа в поступающем (выходящем) в выработку воздухе; Q - расход воздуха на входе (выходе) в вы­работку.

Интегральные газовые потоки с твердых границ выработки мо­гут иметь различное происхождение и рассчитываться разными способами. Так, интегральный газовый поток с обнаженной по­верхности горных пород

(7.6)

где q г - абсолютное газовыделение с единицы обнаженной поверхности; S - площадь обнаженной поверхности.

Аналогично определяется интегральный газовый поток из гра­ничащего с выработкой выработанного пространства.

Интегральный газовый поток из находящейся в выработке отби­той горной массы может быть определен как произведение абсо­лютного газовыделения q" г , отнесенного к единице массы отбитой горной породы, на общую отбитую массу М от:

(7.7)

Следует иметь в виду, что q г и q" г являются функциями времени.

Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил этот путь как расстояние, проходимое частицей жидко­сти до потери своей индивидуальности вследствие смешения с ок­ружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характе­ризует перемешивающую способность потока. Это понятие ис­пользуют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузион­ных процессах основным является процесс выравнивания содержа­ния, путь перемешивания определяют как расстояние, которое проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследст­вие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выраже­ние «потеря индивидуальности» толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания называется путем пе­ремешивания для содержания.

Если воздушный поток представить как совокупность шарооб­разных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для со­держания не равны друг другу, хотя до недавнего времени послед­ний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение может быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.

Каждый из существующих четырех механизмов рас­пространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вы­теснения) характеризуется определенным количеством газа, пере­носимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распростране­ния существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расшире­ния".

Если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объеме Q в вектор его расхода че­рез рассматриваемую поверхность за счет конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа

J k = Q г / S= с U, (6.5)

а его компоненты по осям координат

j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной ско­рости U .

При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):

j м = - D м ·grad c , (6.7)

где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)

D м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление моле­кулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, т.е. поток, направлен в сторону падения со­держания.

Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:

j т = - D т ·grad c , ; (6.11)

j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)

где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диф­фузии.

Поток расширения - поток конвективный. Если некоторый объ­ем газовоздушной смеси со средним по объему содержанием газа с расширяется за счет ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)

где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения может быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объем) и отрицательным (в рас­сматриваемом объеме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем ба­лансе газопереноса в выработке определяется конкретными усло­виями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбу­лентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (например, камеры больших сече­ний) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффу­зионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диф­фузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентно­стью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз ак­тивнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечно­го сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участ­ке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следователь­но, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. Если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответ­ствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и рав­ном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).

В выражениях для диффузионных газовых потоков ко­эффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Ес­тественно, что эти величины имеют сложный характер, и их опре­деление - одна из важных задач теории диффузионных процессов.

Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходны­ми молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффици­ента молекулярной диффузии:

,

где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теп­лового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.

В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяю­щийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьша­ется в обратно пропорциональной зависимости.

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диф­фузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относитель­но невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффу­зии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии сре­ды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулент­ности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вво­дится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорционально­сти между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вслед­ствие различия компонент пульсационных скоростей.

Таким образом, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор. Можно пока­зать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выра­жение:

(6.17)

(6.18)

(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диф­фузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симмет­ричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диаго­нальными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следова­тельно, согласно определению, направление вектора gradс являет­ся главным направлением тензора, а ось координат, соответствую­щая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэф­фициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неоп­ределенная, так как для этого необходимо знать поверхности рав­ных содержаний в потоке, т.е. поле содержаний, что обычно явля­ется конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления могут быть определены достаточ­но просто. Например, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому бо­ку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случа­ях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также опре­деленным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выра­ботке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэф­фициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержа­ния (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотроп­ных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Не­симметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фак­тором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в призем­ном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосфер­ных, что может привести к необходимости учета факта несиммет­ричности тензора диффузии.

Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j ); i = j = х,у,z; ; L c - путь перемешивания для содержа­ния.

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().

В случае плоского потока () коэффициент турбу­лентной диффузии в поперечном к основному движению направ­лении определяется из выражения (6.21):

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

Если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим вы­ражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы отно­сительно величин l С (), можно, измеряя в потоке, опреде­лить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым до­пущением является отождествление l с путем перемешивания для импульса l ; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропор­циональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оце­нить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затуха­ние турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулент­ной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентри­рованных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом слу­чае коэффициент турбулентной диффузии является тензором вто­рого ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

,

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины слу­чайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компо­нентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты на­писания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбу­лентной диффузии является функцией координат. Это можно ви­деть, например, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зави­симости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных вы­работках немногочисленны, что в значительной степени объясня­ется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведе­ния частично основываются на данных о коэффициенте турбулент­ного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность попереч­ных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - вы­сота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных со­ставляющих коэффициента диффузии. Их значения в яд­ре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использо­вать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициен­тов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изо­тропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без гради­ента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответст­вующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направле­нию движения воздуха; и - скорость потока воздуха.

Если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . Например, полагая с = с mах /2, получим

D т =, (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его попе­речном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измере­нию: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффу­зии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных пото­ков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направле­нии основного течения (при неизменных форме сечения, шерохо­ватости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компонен­ты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источ­ник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при те­чениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахт­ных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рам­ной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относи­тельной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, го­ризонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 при­ведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата, перпендику­лярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относитель­ных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные про­изводится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (например, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ши­рина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сече­ния 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8

Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

Для элемента S (м 2) поперечного сечения штрекообразной выра­ботки при средней скорости по площади элемента и" ср (м/с):

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

где R - радиус трубы.

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

где k : = 3,96·10 -4 м.

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

Динамическая скорость, м/с;

u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;

α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;

r -плотность воздуха, кг/м 3 ;

ν - кинематический коэффициент вязко­сти, м 2 /с;

S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y состав­ляют порядка 10 -3 м /с.

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеи­вание газа в потоке за счет работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) ско­рости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового об­лака по выработке его продольная деформация определяется про­филем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение зада­чи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рас­сеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсация­ми скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, дви­жущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D Э:

D Э = D г = D тх , (6.35)

Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усред­ненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили полу­чить следующее выражение для эффективного коэффициента диф­фузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выра­ботки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления вы­работки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эф­фективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где, а число Рейнольдса рассчитывают по . Зна­чение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости кана­ла на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор мо­жет увеличивать D э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии сво­бодных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;

а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от на­чальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитан­ные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограни­ченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим измене­нием коэффициента структуры а.

Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент струк­туры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Подобное явление было установлено при распростране­нии свободных ветровых струй в карьерах.

По В.Н. Воронину, коэффициент турбулентной диффузии струи, и начальном сечении которой уже имеется некоторое количество газа с содержанием с 0 (частично загазованная струя), определяется по формуле

. (6.46)

При этом принимается, что коэффициент турбулентной диффузии не зависит от турбулентной структуры газовоздушной среды вне свободной струи, т.е. газообмен между струей и средой определяется лишь течением в струе, а это, видимо, справедливо только для затопленных струй, распространяющихся в неограни­ченном пространстве. Поскольку через границу свободной струи происходит обмен турбулентными массами, то турбулентная структура струи должна зависеть от структуры движения и энергии привносимых в нее извне масс. При исследованиях затопленных струй, распространяющихся в ограниченных пространствах (карь­еры, тупиковые выработки, камеры и т.п.), была установлена завиисимость их угла раскрытия [а следовательно, в соответствии с формулой (6.36) - и коэффициента структуры струи] от геометрии ограничивающих поверхностей, что должно быть связано с турбулентной структурой вторичных токов, заполняющих пространство между ограничивающими поверхностями и границей свободной струи*.

В общем случае структура вторичных токов должна зависеть от начального расхода воздуха в струе, и для точного описания газообменных процессов, связанных с распространением свободных струй, с помощью коэффициента турбулентной диффузии В.Н. Во­ронина необходимо определить зависимости его от диффузион­ных свойств внешней среды (например, от коэффициента диффузии D т.

Более строгим является исследование процессов газопереноса в свободных струях на основе ранее рассмотренных коэффициен­тов турбулентной диффузии и эффективных коэффициентов диф­фузии. Исследования для их установления применительно к струй­ным движениям в горных условиях были выполнены К.Ю. Лайгна, Э.А. Поттером и О.А. Суллакатко. Ими впервые получены выра­жения для расчета коэффициентов турбулентной диффузии огра­ниченной (степенной) струи , в частности, для эффективных коэффициентов продольной турбулентной диффузии:

круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:

плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:

(6.49)

Здесь - коэффициент стеснения струи; S - площадь поперечного сечения выработки; d - начальный диаметр струи; и - средняя начальная скорость струи; Н, В - соответственно высота и ширина выработки; b - начальная ширина струи.

ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ

Как уже упоминалось, кинетическая теория газов позволяет просто объяснить факт медленности процесса диффузии, несмотря на большие значения скоростей тепловых движений молекул. Это обусловлено тем, что молекулы газа, чтобы попасть из одной точки в другую, вследствие столкновений вынуждены пройти длинный зигзагообразный путь, во много раз превосходящий расстояние по прямой между этими точками.

Кроме такого качественного объяснения, кинетическая теория позволяет и количественно оценить величину коэффициента диффузии и выразить его через молекулярные величины - длину свободного пробега молекул и скорости их тепловых движений.

Рассмотрим площадку 5 в сосуде с газовой смесью, перпендикулярную к оси X (рис. 51), вдоль которой поддерживается

постоянная разность концентраций (речь идет, следовательно, о стационарном процессе). Примем для определенности, что Из-за тепловых движений молекулы интересующего нас компонента будут переходить через площадку 5 как слева направо, так и справа налево. Ввиду существующей разности концентраций по обе стороны площадки возникнет некоторый диффузионный поток вдоль оси X, равный, очевидно, разности между числом молекул пересекающих площадки 5 в 1 с (перпендикулярно к ее плоскости) в направлении положительных значений X (вправо), и числом молекул пересекающих то же сечение и за то же время в противоположном направлении (влево):

Как определить число молекул, пересекающих площадки? Если бы все молекулы двигались с одинаковой скоростью направленной по оси X, то число молекул, переходящих в 1 с площадку в было бы равно где число молекул в единице объема.

В действительности существует распределение молекул по скоростям, но для грубой оценки мы примем, что у всех молекул одна и та же скорость, равная средней скорости Примем также, что тепловые скорости молекул равномерно распределены по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тогда из всех молекул единицы объема движется вдоль оси X и из них половина движется в положительном направлении оси X, т. е. по направлению к площадке, в то время как другая половина движется в противоположном направлении - от нее.

Следовательно, число молекул пересекающих площадки в 1 с слева направо, и число молекул пересекающих ту же площадку в противоположном направлении, выразятся соотношениями:

Здесь концентрации молекул с одной и с другой стороны от площадки. Относительно значений величин необходимо заметить, что они изменяются вдоль оси X вследствие столкновений молекул между собой. Поэтому к выделенной нами площадке молекулы подходят, имея те значения концентраций которые создались при последнем столкновении перед площадкой. Значит, мы должны считать, что это те числа молекул в единице объема, которые были на расстоянии (средняя длина свободного пробега) от площадки, по обе стороны от нее.

Диффузионный поток следовательно, определяется выражением

где разность концентраций между точками, отделенными друг от друга расстоянием в Разность эту нетрудно определить, если известно значение градиента концентрации - (будем полагать, что изменяется только по оси т. е. вместо можно писать Так как есть разность концентраций, приходящаяся на единицу длины, то на расстоянии она равна:

Эта формула справедлива, если X достаточно мало.

Таким образом, для диффузионного потока получаем выражение:

или, умножив обе части этого равенства на массу молекулы имеем:

Сравнивая его с уравнениями (40.2) и (40,3) закона Фика

находим интересующее нас выражение для коэффициента диффузии:

Из этого выражения видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению газа (потому что и прямо пропорционален квадратному корню из температуры

При выводе формулы (42.1) не принималась во внимание диффузия второго компонента, крторая, разумеется, тоже происходит. И она не может не влиять на диффузию рассматриваемого компонента смеси.

Так, например, в смеси водорода и углекислого газа водород должен диффундировать значительно быстрее, чем углекислый газ, потому что при данной температуре средняя скорость тепловых движений молекул водорода почти в пять раз больше и, кроме того, длина свободного пробега молекул водорода тоже больше. Но это

значит, что объем водорода, переносимого в одном направлении, больше объема углекислого газа, переносимого в противоположном направлении. В таком случае в газе неизбежно возникает разность давлений, а значит, и поток газа в целом. Между тем мы определили диффузию как процесс, при котором давление газовой смеси во всех точках остается постоянным и газ, как целое, покоится. На самом же деле в процессе взаимной диффузии двух различных газов, одного в другой, превышение диффузионного потока одного из них над потоком другого уравновешивается течением всего газа по направлению к той области, где первоначально находились более быстро диффундирующие молекулы.

Этого обстоятельства мы, однако, не принимали во внимание при выводе формулы (42.1) для коэффициента диффузии, и эта формула справедлива в сущности только для диффузии молекул газа в среде того же газа. Такой процесс называется самодиффузией, а формула (42.1) выражает, следовательно, коэффициент самодиффузии.

С таким явлением мы имеем дело, например, когда газовая смесь состоит из двух различных изотопов одного и того же вещества, лишь незначительно отличающихся друг от друга своей массой, но не отличающихся никакими другими свойствами. Если один из изотопов радиоактивен, то такую самодиффузию легко наблюдать, так как за проникновением радиоактивных частиц можно следить по их излучению.

В общем случае коэффициент диффузии зависит от следующих факторов:

температуры процесса;

давления в реакционной системе;

концентрации легирующих веществ;

кристаллического совершенства и наличия упругих напряжений в структуре.

2.14 Первый закон Фика

Если рассматривать диффузию как процесс переноса атомов в неравновесной системе, вызываемый только наличием градиента концентрации вещества, то выражение для потока вещества, проходящего в единицу времени через единицу площади сечения, перпендикулярного направлению перемещения вещества, выглядит следующим образом:

J = -D-gradC, (5.1)

где J - поток диффундирующего вещества; D - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии и имеющий размерность см 2 /с; С - концентрация атомов вещества, см" 3 .

Знак "минус" в уравнении означает, что поток атомов (и, следова­тельно, сам процесс диффузии) направлен в сторону убывания концентрации примеси. Коэффициент диффузии - величина, экспоненциально зависящая от температуры

где Ea - энергия активации диффузии, эВ; D 0 - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см 2 /с; k постоянная Больцмана, 8,6*10 -5 эВ/К; Т- температура, К.

Уравнение (5.1) называют первым законом Фика, по имени швейцарского физика, получившего его, и говорит этот закон о том, что локальная скорость диффузии через сечение единичной площади в единицу времени пропорциональна градиенту концентрации рассоренного вещества, а направлена диффузия в сторону убывания концентрации примеси.

В технологии микроэлектроники используют плоскопараллельные пластины, и глубина проведения процессов диффузии много меньше толщины пластин. Это означает, что для теоретического анализа можно ограничиться одномерным случаем. Если концентрация примеси изме­няется лишь в одном направлении, то выражение для потока в некото­рой точке с координатой х в момент времени t будет иметь вид:

2.15 Второй закон Фика

С учетом закона сохранения вещества из первого закона Фика можно вывести выражение для второго закона Фика, согласно которому изменение концентрации вещества в некотором объеме должно определяться потоком внутрь этого объема

Уравнение (5.4) называют уравнением диффузии, и его решение для конкретных граничных условий описывает характер распределения диффундирующих частиц в различных точках среды в зависимости от времени.

2.16 Диффузия в полубесконечное тело из бесконечного источника.

Традиционно термодиффузионные процессы в технологии микроэлектроники проводят в две стадии. На первой стадии на поверхности подложки формируют тонкую легированную область. На второй стадии при отжиге структуры в атмосфере, не содержащей примесей, добиваются перераспределения введенных на первой стадии примесей в подложку. Первая стадия традиционного диффузионного процесса соответствует диффузии в полубесконечное тело из бесконечного источника. Вторая стадия диффузии соответствует диффузии в полубесконечное тело из ограниченного источника.

Полубесконечным телом любую монокристаллическую пластину можно считать при условии, что диффузия проводится на глубину, много меньшую толщины подложки. Бесконечным (или постоянным) источником можно считать такое состояние системы, когда количество примеси, уходящей с поверхности в объем полупроводника, равно количеству примеси, поступающей на поверхность. Это означает, что количество примеси вокруг пластины, например в газовой фазе, значительно больше, чем в ее объеме. Граничные условия в этом случае записываются как

С(х) =О при t = O;

С(х) =C 0 при t >О, х = О;

Решение второго закона Фико при данных граничных условиях описыва­ется дополнительной функцией ошибок