ВходКак решить уравнение с разными степенями. Лекция: «Методы решения показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = а b , где а> 0, а 1, х - неизвестное.
Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.
При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a x , a > 0, a1:
Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.
Задачи и тесты по теме "Показательные уравнения"
- Показательные уравнения
Уроков: 4 Заданий: 21 Тестов: 1
- Показательные уравнения - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 14
- Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
- §2.1. Решение показательных уравнений
Уроков: 1 Заданий: 27
- §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 17
Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.
При решении показательных уравнений используют два основных метода:
- переход от уравнения a f(x) = a g(x) к уравнению f(x) = g(x);
- введение новых прямых.
Примеры.
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.
3 x = 9 x – 2 .
Решение:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
Ответ: 4.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.
Решение:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
Ответ: 3.
3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
Решение:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Ответ: log 2 3.
4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.
3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х – 2 = 5 х + 2 х – 2 .
3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х – 2 ×23 = 5 х – 2
×23
2 х – 2 = 5 х – 2
(5/2) х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.
Ответ: 2.
5. Уравнения, однородные относительно a x и b x .
Общий вид: .
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x .
Решение:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Обозначим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.
Ответ: log 3/2 2; - log 3/2 2.
В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение , которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод. Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий , которые могут значительно облегчить ход его решения. Вот эти действия:
1. Разложите все основания степеней на простые множители.
2. Корни представьте в виде степени.
3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.
4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.
Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.
1. Уравнение вида
Это уравнение равносильно уравнению
Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения 
этого типа.
2. Уравнение вида
В уравнениях этого типа:
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.
Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.
Пример решения уравнения этого типа:
посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.
3. Уравнение вида
Уравнения этого типа отличаются тем, что
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.
Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно освободиться от свободных членов в показателе степени. (, , и т.д)
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:
4.
Однородные уравнения
вида
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.
Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на (можно разделить на или на )
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
В нашем случае, поскольку выражение не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:
Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:
Введем замену:
Причем title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.
Получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение, найдем значения , которые удовлетворяют условию title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.
Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение однородного уравнения:
5. Уравнение вида
При решении этого уравнения будем исходить из того, что title="f(x)>0">
Исходное равенство выполняется в двух случаях:
1. Если , поскольку 1 в любой степени равна 1,
2. При выполнении двух условий:
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>0} {g(x)=h(x)} {x-8y+9z=0}}}{ }">
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
1 . Показательные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а > 0, а ≠ 1.
1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.
Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:
1) метод приведения к одному основанию ;
2) метод оценки;
3) графический метод;
4) метод введения новых переменных;
5) метод разложения на множители;
6) показательно – степенные уравнения;
7) показательные с параметром.
2 . Метод приведения к одному основанию.
Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду
Примеры. Решить уравнение:
1 . 3x = 81;
Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4. Ответ: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:
,
откуда 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.
5. 3x = 5. По определению логарифма x = log35. Ответ: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Перепишем уравнение в виде 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т. е..png" width="181" height="49 src="> Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т. е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.
Банк задач №1.
Решить уравнение:
Тест №1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
А2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
А3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет |
1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
А5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
А6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Тест №2
А1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
А2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
А3 | 1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1 |
А4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
А5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Метод оценки.
Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.
При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.
Примеры. Решить уравнения: 1. 4x = 5 – x.
Решение. Перепишем уравнение в виде 4x +x = 5.
1. если x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.
Функция f(x) = 4x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4x = 5 – x. Ответ: 1.
2.
Решение. Перепишем уравнение в виде 
.
1. если x = -1, то 
, 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.
2. докажем, что он единственный.
3. Функция f(x) = - убывает на R, и g(x) = - x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.
Банк задач №2. Решить уравнение
а) 4x + 1 =6 – x;
б) 
в) 2x – 2 =1 – x;
4. Метод введения новых переменных.
Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.
Примеры.
Р
ешить уравнение: 1.
.
Перепишем уравнение иначе: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т. е..png" width="210" height="45">
Решение. Перепишем уравнение иначе: 
Обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не подходит.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - иррациональное уравнение. Отмечаем, что 
Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.
Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 56x+6 ≠ 0. Получим уравнение
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т..png" width="118" height="56">
Корни квадратного уравнения – t1 = 1 и t2 <0, т. е..png" width="200" height="24">.
Решение. Перепишем уравнение в виде
и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.
Разделим уравнение на 42x, получим 
Заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Ответ: 0; 0,5.
Банк задач № 3. Решить уравнение
б) 
г) 
Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.
А1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
А4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.
А1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
А5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет |
5. Метод разложения на множители.
1. Решите уравнение: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Решение..png" width="169" height="69"> , откуда
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6x, а в правой части – 2x. Получим уравнение 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Так как 2x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1ó x = 0.
3. 
Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.
Выделим квадрат двучлена 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 – корень уравнения.
Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
А2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
А3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
А5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Тест № 6 Общий уровень.
А1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
А2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
А3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
А4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
А5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Показательно – степенные уравнения.
К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т. е. уравнения вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).
Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Решение. x2 +2x-8 – имеет смысл при любых x, т. к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
б) 
7. Показательные уравнения с параметрами.
1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) имеет единственное решение?
Решение. Введем замену 2x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.
1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
2. Если p1, то 9(p – 1)2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем
Подставляя t1 и t2 в системы, имеем
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?
Решение. Пусть 
тогда уравнение (3) примет вид t2 – 6t – a = 0. (4)
Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.
Введем функцию f(t) = t2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">
Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если
D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">
Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень 
. Тогда уравнение (3) имеет единственное решение 
При a < – 9 уравнение (3) корней не имеет.
если a < – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
если a = – 9, то x = – 1;
если a 0, то
Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого - полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.
Решим более сложные уравнения.
Задача 3. Решите уравнение 
Решение. ОДЗ: x1, x2.
Введем замену. Пусть 2x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">
Ответ: если a > – 13, a 11, a 5, то если a – 13,
a = 11, a = 5, то корней нет.
Список используемой литературы.
1. Гузеев основания образовательной технологии.
2. Гузеев технология: от приема до философии.
М. «Директор школы»№4, 1996 г.
3. Гузеев и организационные формы обучения.
4. Гузеев и практика интегральной образовательной технологии.
М. «Народное образование», 2001 г.
5. Гузеев из форм урока – семинара.
Математика в школе №2, 1987 г. с.9 – 11.
6. Селевко образовательные технологии.
М. «Народное образование», 1998 г.
7. Епишева школьников учиться математике.
М. «Просвещение», 1990 г.
8. Иванова подготовить уроки – практикумы.
Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.
9. Смирнова модель обучения математике.
Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.
10. Тарасенко способы организации практической работы .
Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.
11. Об одном из видов индивидуальной работы.
Математика в школе №2, 1994 г. с.63 – 64.
12. Хазанкин творческие способности школьников.
Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.
13. Сканави. Издатель, 1997 г.
14. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для
15. Кривоногов задания по математике.
М. «Первое сентября», 2002 г.
16. Черкасов. Справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. «А С Т - пресс школа», 2002 г.
17. Жевняк для поступающих в вузы.
Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.
18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.
19. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.
М. «Интеллект – Центр», 2003 г.
20. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.
М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.
21 и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.
22. Гольдберг уравнения. «Квант» №3, 1971 г.
23. Волович М. Как успешно обучать математике.
Математика, 1997 г. №3.
24 Окунев за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.
25. Якиманская – ориентированное обучение в школе.
26. Лийметс работа на уроке. М. Знание, 1975 г.
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу